Нахождение точек экстремума функции

Предмет: Математика (Математический анализ)

Раздел: Исследование функций на экстремумы (методы поиска экстремумов функции нескольких переменных)

Дана функция \( Z = x + xy + 5x + y^2 \). Задача состоит в нахождении точек экстремума этой функции.

Шаг 1. Нахождение частных производных:

Чтобы найти критические точки функции двух переменных \( Z(x, y) \), первым делом вычисляем ее частные производные по \( x \) и \( y \).

1. Частная производная по \( x \):

\[ \frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x + xy + 5x + y^2) = 1 + y + 5 \]

\[ \frac{\partial Z}{\partial x} = y + 6 \]

2. Частная производная по \( y \):

\[ \frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + xy + 5x + y^2) = x + 2y \]

\[ \frac{\partial Z}{\partial y} = x + 2y \]

Шаг 2. Поиск критических точек:

Чтобы найти критические точки, нужно приравнять частные производные к нулю, т.е. решаем систему:

\[ \begin{cases} y + 6 = 0 \\ x + 2y = 0 \end{cases} \]

Из первого уравнения:

\[ y = -6 \]

Подставляем это значение \( y \) во второе уравнение:

\[ x + 2(-6) = 0 \implies x - 12 = 0 \implies x = 12 \]

Таким образом, критическая точка — \( (x, y) = (12, -6) \).

Шаг 3. Проверка типа экстремума с помощью гессиана:

Гессиан — это матрица вторых частных производных. Чтобы определить тип найденного экстремума, нужно вычислить гессиан и применить критерий Зависанного.

1. Вторые частные производные:
• \(\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} = 0\);
• \(\frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = 2\);
• \(\frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = 1\).
2. Гессиан \( H \):

\[ H = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 Z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (0)(2) - (1)(1) = -1 \]

Так как определитель гессиана \( H = -1 \), а это отрицательное число, то в точке \( (12, -6) \) экстремума нет. Это седловая точка.

Ответ:

Критическая точка: \( (12, -6) \) является седловой точкой.