Нахождение производной функции методом логарифмического дифференцирования

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ", подраздел "Дифференцирование функций". Задача состоит в нахождении производной функции методом логарифмического дифференцирования. Приступим к решению.

Имеем функцию:

\[ y = \sqrt[3]{x^2} \cdot \frac{1 - x}{1 + x^2} \cdot \sin^3(x) \cdot \cos^2(x). \]

Чтобы эффективно найти её производную, воспользуемся логарифмическим дифференцированием. Оно удобно, когда функция является произведением нескольких выражений.

Шаг 1: Применение логарифма

Возьмём логарифм от обеих частей:

\[ \ln y = \ln \left(\sqrt[3]{x^2} \cdot \frac{1 - x}{1 + x^2} \cdot \sin^3(x) \cdot \cos^2(x)\right). \]

Свойства логарифмов позволяют представить это как сумму:

\[ \ln y = \ln \sqrt[3]{x^2} + \ln \frac{1 - x}{1 + x^2} + \ln \sin^3(x) + \ln \cos^2(x). \]

Разберём каждое слагаемое:

1. \(\ln \sqrt[3]{x^2} = \frac{1}{3} \ln (x^2) = \frac{1}{3} \cdot 2 \ln x = \frac{2}{3} \ln x\).
2. \(\ln \frac{1 - x}{1 + x^2} = \ln(1 - x) - \ln(1 + x^2)\).
3. \(\ln \sin^3(x) = 3 \ln \sin(x)\).
4. \(\ln \cos^2(x) = 2 \ln \cos(x)\).

Итак, упростим выражение:

\[ \ln y = \frac{2}{3} \ln x + \ln (1 - x) - \ln (1 + x^2) + 3 \ln \sin(x) + 2 \ln \cos(x). \]

Шаг 2: Дифференцирование по \(x\)

Теперь дифференцируем обе части уравнения по \(x\).

Слева:

\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}. \]

Для правой части применяем правила дифференцирования логарифма:

1. \(\frac{d}{dx} \left( \frac{2}{3} \ln x \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{3x}\).
2. \(\frac{d}{dx} \ln(1 - x) = \frac{1}{1 - x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1 - x}\).
3. \(\frac{d}{dx} \ln(1 + x^2) = \frac{1}{1 + x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^2}\).
4. \(\frac{d}{dx} \left( 3 \ln \sin(x) \right) = 3 \cdot \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = 3 \cot(x)\).
5. \(\frac{d}{dx} \left( 2 \ln \cos(x) \right) = 2 \cdot \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -2 \tan(x)\).

Теперь соберём все производные:

\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3x} - \frac{1}{1 - x} - \frac{2x}{1 + x^2} + 3 \cot(x) - 2 \tan(x). \]

Шаг 3: Умножение на \(y\)

Помним, что изначально \(y\) задано как:

\[ y = \sqrt[3]{x^2} \cdot \frac{1 - x}{1 + x^2} \cdot \sin^3(x) \cdot \cos^2(x). \]

Таким образом, производная функции:

\[ \frac{dy}{dx} = y \cdot \left( \frac{2}{3x} - \frac{1}{1 - x} - \frac{2x}{1 + x^2} + 3 \cot(x) - 2 \tan(x) \right), \]

где \(y\) подставляем изначально.

На этом задача решена.