Нахождение общего интеграла дифференциального уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Данное уравнение: \( y' = \frac{y^2}{x^2} + 4\frac{y}{x} + 2 \)

Тип уравнения: Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решение:

1. Замена переменных: Упростим уравнение, введя замену \( v = \frac{y}{x} \). Тогда \( y = vx \) и производная \( y \) будет: \[ y' = v + x \frac{dv}{dx} \]
2. Подстановка замены в исходное уравнение: Подставим \( y = vx \) и \( y' = v + x \frac{dv}{dx} \) в исходное уравнение: \[ v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2}{x^2} + 4\frac{vx}{x} + 2 \] \[ v + x \frac{dv}{dx} = v^2 + 4v + 2 \]
3. Переносим все члены с \( v \) в одну сторону: \[ x \frac{dv}{dx} = v^2 + 4v + 2 - v \] \[ x \frac{dv}{dx} = v^2 + 3v + 2 \]
4. Разделение переменных: \[ \frac{dv}{v^2 + 3v + 2} = \frac{dx}{x} \]
5. Интегрируем обе части уравнения: Левая часть: Разделим на простые дроби: \[ \frac{1}{v^2 + 3v + 2} = \frac{1}{(v+1)(v+2)} \] \[ \frac{1}{(v+1)(v+2)} = \frac{A}{v+1} + \frac{B}{v+2} \] Решаем для A и B: \[ A(v+2) + B(v+1) = 1 \] \[ A + B = 0 \] \[ 2A + B = 1 \] Получаем: \[ A = 1, B = -1 \] Тогда интеграл превращается в: \[ \int \frac{dv}{v^2 + 3v + 2} = \int \left( \frac{1}{v+1} - \frac{1}{v+2} \right) dv \] \[ \int \left( \frac{1}{v+1} - \frac{1}{v+2} \right) dv = \ln|v+1| - \ln|v+2| \] Правая часть: \[ \int \frac{dx}{x} = \ln|x| \]
6. Объединяем интегралы: \[ \ln|v+1| - \ln|v+2| = \ln|x| + C \]
7. Упрощаем: \[ \ln \left| \frac{v+1}{v+2} \right| = \ln|x| + C \] Подставим обратно \( v = \frac{y}{x} \): \[ \frac{\frac{y}{x} + 1}{\frac{y}{x} + 2} = x e^C = kx \] \[ \frac{y + x}{y + 2x} = kx \] Таким образом, общий интеграл уравнения: \[ \left| \frac{y + x}{y + 2x} \right| = kx \]