Нахождение невертикальной асимптоты графика функции

Это задание относится к предмету математического анализа, разделу "Исследование функций".

Давайте проанализируем функцию \( y = e^{\frac{1}{x}} \) и найдем ее асимптоты. Асимптота — линия, к которой приближается график функции при бесконечном увеличении или уменьшении переменной.

1. Горизонтальная асимптота. Нужно определить поведение функции \( y \) при \( x \rightarrow \infty \) и \( x \rightarrow -\infty \):
   • При \( x \rightarrow \infty \): \[\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1 \]
   • При \( x \rightarrow -\infty \): \[\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1 \]

   Следовательно, функция имеет горизонтальную асимптоту \( y = 1 \).

2. Наклонные (косые) асимптоты. Чтобы проверить наличие наклонной асимптоты, нужно определить выражение вида \( y = mx + b \), при \( x \rightarrow \infty \) или \( x \rightarrow -\infty \).

   Однако в данном случае наклонные асимптоты отсутствуют, так как функция \( e^{\frac{1}{x}} \) только асимптотически стремится к горизонтальной линии \( y = 1 \).

   Таким образом, у функции \( y = e^{\frac{1}{x}} \) есть горизонтальная асимптота \( y = 1 \).

Правильный ответ: \( y = 1 \).