Начертить фазовые траектории и исследовать особые точки системы

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Качественный анализ фазовых траекторий

Дано уравнение системы:

\dot{x} = xy - 4,
\dot{y} = (x - 4)(y - x).

Требуется начертить фазовые траектории и исследовать особые точки системы.

1. Нахождение особых точек

Особые точки находятся из условий \dot{x} = 0 и \dot{y} = 0. Решим систему:

1. \dot{x} = xy - 4 = 0.
   Это возможно, если:

   • xy = 4.

2. \dot{y} = (x - 4)(y - x) = 0.
   Это возможно, если:

   • x - 4 = 0, то есть x = 4;
   • y - x = 0, то есть y = x.

Теперь найдем пересечения этих условий:

• Если x = 4, то из xy = 4 следует 4y = 4, то есть y = 1.
  Особая точка: (4, 1).
• Если y = x, то из xy = 4 следует x^2 = 4, то есть x = \pm 2.
  Особые точки: (2, 2) и (-2, -2).

Итак, особые точки системы:
(4, 1), (2, 2), (-2, -2).

2. Линейный анализ особых точек

Для исследования типа особых точек линеаризуем систему в окрестности каждой точки. Для этого найдем якобиан системы:

 J = \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} \ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} \end{pmatrix}. 

Вычислим частные производные:

1. \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} = x.
2. \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} = (y - x) + (x - 4), \quad \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} = (x - 4).

Якобиан имеет вид:

 J = \begin{pmatrix} y & x \ y - x + x - 4 & x - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & x \ y - 4 & x - 4 \end{pmatrix}. 

Теперь подставим каждую особую точку:

2.1. Точка (4, 1)

Подставим x = 4, y = 1 в якобиан:

 J = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ -3 & 0 \end{pmatrix}. 

Найдем собственные значения \lambda из характеристического уравнения:

 \det(J - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 4 \ -3 & -\lambda \end{pmatrix} = 0. 

Рассчитаем определитель:

 (1 - \lambda)(-\lambda) - (-3)(4) = -\lambda + \lambda^2 + 12 = \lambda^2 - \lambda + 12 = 0. 

Дискриминант: D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -47.
Так как дискриминант отрицателен, собственные значения — комплексные с положительной вещественной частью.
Тип точки: устойчивый фокус.

2.2. Точка (2, 2)

Подставим x = 2, y = 2 в якобиан:

 J = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ -2 & -2 \end{pmatrix}. 

Характеристическое уравнение:

 \det(J - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 2 \ -2 & -2 - \lambda \end{pmatrix} = 0. 

Рассчитаем определитель:

 (2 - \lambda)(-2 - \lambda) - (-2)(2) = -4 - 2\lambda + \lambda^2 + 4 = \lambda^2 - 2\lambda = 0. 

Корни: \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2.
Тип точки: седло.

2.3. Точка (-2, -2)

Подставим x = -2, y = -2 в якобиан:

 J = \begin{pmatrix} -2 & -2 \ -6 & -6 \end{pmatrix}. 

Характеристическое уравнение:

 \det(J - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -2 - \lambda & -2 \ -6 & -6 - \lambda \end{pmatrix} = 0. 

Рассчитаем определитель:

 (-2 - \lambda)(-6 - \lambda) - (-2)(-6) = 12 + 2\lambda + 6\lambda + \lambda^2 - 12 = \lambda^2 + 8\lambda = 0. 

Корни: \lambda_1 = 0, \lambda_2 = -8.
Тип точки: вырожденный узел.

3. Построение фазовых траекторий

1. Точка (4, 1) — фокус, траектории закручиваются вокруг нее.
2. Точка (2, 2) — седло, траектории расходятся вдоль одной оси и сходятся вдоль другой.
3. Точка (-2, -2) — вырожденный узел, траектории направлены к точке.

Итог

Особые точки:

1. (4, 1) — устойчивый фокус.
2. (2, 2) — седло.
3. (-2, -2) — вырожденный узел.

Фазовые траектории можно начертить, используя полученные типы особых точек и их поведение.