Начально-краевая задача для одномерного уравнения теплопроводности

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения, уравнение теплопроводности (метод Фурье)

Задача: Рассмотрим начально-краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности:

 \begin{cases} u_t = 4u_{xx}, \ u(0,t) = u(2\pi,t) = 0, \ u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x). \end{cases} 

Шаг 1: Метод Фурье

Поскольку граничные условия однородные (нулевые на концах), применим метод разделения переменных и разложим начальную функцию в ряд Фурье по синусам, удовлетворяющим граничным условиям.

Предположим, что решение имеет вид:

 u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-4\lambda_n t} \sin(n x), 

где \lambda_n = n^2 — собственные значения для задачи с граничными условиями u(0,t) = u(2\pi,t) = 0.

Шаг 2: Разложим начальное условие в ряд Фурье

Начальное условие:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x). 

Разложим это выражение в ряд Фурье по базису \{\sin(n x)\} на отрезке [0, 2\pi].

Заметим, что \sin\left(\frac{x}{2}\right) не является элементом ортонормированного базиса \sin(n x) на [0, 2\pi], но задача поставлена с граничными условиями u(0,t) = u(2\pi,t) = 0, и видно, что \sin\left(\frac{x}{2}\right) не удовлетворяет этим условиям. Следовательно, нужно расширить базис до \sin\left(\frac{n x}{2}\right).

Обратим внимание: если мы хотим использовать только синусы с аргументом n x, то необходимо разложить u(x, 0) в ряд Фурье по синусам на интервале [0, 2\pi]:

Рассмотрим, что:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x) 

не разлагается по \sin(n x) с целыми n, так как \sin\left(\frac{x}{2}\right) не ортогонален на [0, 2\pi] к \sin(n x). Поэтому корректный путь — использовать представление в виде суммы синусов с аргументами \frac{n x}{2}.

Шаг 3: Подгонка под базис

Пусть:

 u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-4\left(\frac{n}{2}\right)^2 t} \sin\left(\frac{n x}{2}\right) 

Проверим, удовлетворяет ли u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x) этой форме:

 u(x,0) = A_1 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + A_2 \sin(x) + A_3 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) + \cdots 

Сравнивая:

 u(x,0) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(x) 

Получаем:

• A_1 = 1
• A_2 = -3
• Остальные A_n = 0

Шаг 4: Записываем аналитическое решение

 u(x,t) = e^{-4\left(\frac{1}{2}\right)^2 t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4(1)^2 t} \sin(x) = e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4t} \sin(x) 

Шаг 5: Проверка решения

Найдем частные производные:

1. Производная по времени:

 u_t = -e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3(-4) e^{-4t} \sin(x) = -e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 12 e^{-4t} \sin(x) 

2. Вторая производная по пространству:

 u_{xx} = \frac{d^2}{dx^2} \left( e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4t} \sin(x) \right) = e^{-t} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4t} \cdot (-1) \sin(x) = -\frac{1}{4} e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 3 e^{-4t} \sin(x) 

Теперь умножим u_{xx} на 4:

 4 u_{xx} = -e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 12 e^{-4t} \sin(x) 

Сравним с u_t:

 u_t = 4 u_{xx} 

✅ Проверка выполнена — решение удовлетворяет уравнению теплопроводности.

Ответ:

 \boxed{u(x,t) = e^{-t} \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 3 e^{-4t} \sin(x)}