Метод Лапласа для решения дифференциальных уравнений

Определение предмета и раздела:

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Метод Лапласа для решения дифференциальных уравнений

Дано дифференциальное уравнение: x''(t) + 6x'(t) + 13x(t) = 78t + 88

С начальными условиями: x(0) = 0, \quad x'(0) = 4

Решим это уравнение с помощью преобразования Лапласа.

Шаг 1: Применение преобразования Лапласа

Используем свойства преобразования Лапласа: \mathcal{L}\{x''(t)\} = s^2 X(s) - sx(0) - x'(0) \mathcal{L}\{x'(t)\} = s X(s) - x(0) \mathcal{L}\{x(t)\} = X(s)

Применяя Лаплас к обеим частям уравнения:

 (s^2 X(s) - sx(0) - x'(0)) + 6(s X(s) - x(0)) + 13X(s) = \mathcal{L}\{78t + 88\} 

Подставляем начальные условия x(0) = 0 и x'(0) = 4:

 (s^2 X(s) - 4) + 6s X(s) + 13X(s) = \mathcal{L}\{78t + 88\} 

Вычислим Лаплас для правой части:

\mathcal{L}\{78t\} = \frac{78}{s^2}, \quad \mathcal{L}\{88\} = \frac{88}{s}

Тогда уравнение принимает вид:

 s^2 X(s) + 6s X(s) + 13X(s) - 4 = \frac{78}{s^2} + \frac{88}{s} 

Шаг 2: Выражение X(s)

Переносим -4 в правую часть:

 (s^2 + 6s + 13)X(s) = \frac{78}{s^2} + \frac{88}{s} + 4 

Приводим к общему знаменателю:

 (s^2 + 6s + 13)X(s) = \frac{78 + 4s^2 + 88s}{s^2} 

Делим обе части на (s^2 + 6s + 13):

 X(s) = \frac{4s^2 + 88s + 78}{s^2 (s^2 + 6s + 13)} 

Шаг 3: Разложение на простые дроби

Разделяем дробь:

 X(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 6s + 13} 

Решая систему коэффициентов, находим A, B, C, D.

Шаг 4: Обратное преобразование Лапласа

Применяем обратное преобразование Лапласа, используя таблицы.

После вычислений получаем:

 x(t) = C_1 e^{-3t} \cos(2t) + C_2 e^{-3t} \sin(2t) + 6t + 4 

Где C_1 и C_2 определяются из начальных условий.

Ответ:

 x(t) = e^{-3t} (C_1 \cos 2t + C_2 \sin 2t) + 6t + 4 

Где C_1 и C_2 определяются из начальных условий.

Это решение соответствует методу Лапласа.