Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение предмета и раздела

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дано уравнение:

y'' - 6y' + 8y = x^2

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью. Решение состоит из двух частей:

1. Общее решение однородного уравнения
2. Частное решение неоднородного уравнения

1. Решение однородного уравнения

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:
y'' - 6y' + 8y = 0

Характеристическое уравнение:
\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0

Решим квадратное уравнение:
\lambda_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}

Получаем корни:
\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = 2

Общее решение однородного уравнения:
y_h = C_1 e^{4x} + C_2 e^{2x}

2. Частное решение уравнения

Правая часть x^2 является многочленом второй степени. Предположим частное решение в виде:
y_p = Ax^2 + Bx + C

Найдем производные:
y_p' = 2Ax + B
y_p'' = 2A

Подставим в уравнение:
2A - 6(2Ax + B) + 8(Ax^2 + Bx + C) = x^2

Раскроем скобки:
2A - 12Ax - 6B + 8Ax^2 + 8Bx + 8C = x^2

Сгруппируем по степеням x:
8Ax^2 + (-12A + 8B)x + (2A - 6B + 8C) = x^2

Приравняем коэффициенты:

1. Для x^2: 8A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{8}
2. Для x: -12A + 8B = 0
   Подставим A = \frac{1}{8}:
   -12 \cdot \frac{1}{8} + 8B = 0
   -\frac{12}{8} + 8B = 0
   8B = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
   B = \frac{3}{16}
3. Для свободного члена: 2A - 6B + 8C = 0
   Подставим A = \frac{1}{8} и B = \frac{3}{16}:
   2 \cdot \frac{1}{8} - 6 \cdot \frac{3}{16} + 8C = 0
   \frac{2}{8} - \frac{18}{16} + 8C = 0
   \frac{1}{4} - \frac{9}{8} + 8C = 0
   \frac{2}{8} - \frac{9}{8} + 8C = 0
   \frac{-7}{8} + 8C = 0
   8C = \frac{7}{8}
   C = \frac{7}{64}

Таким образом, частное решение:
y_p = \frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{16}x + \frac{7}{64}

3. Общее решение уравнения

y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{2x} + \frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{16}x + \frac{7}{64}

Где C_1 и C_2 — произвольные постоянные.

Ответ:
y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{2x} + \frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{16}x + \frac{7}{64}