Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дано линейное дифференциальное уравнение:
x'(t) + 2x(t) = 4t, \, x(0) = 2,
и требуется найти его решение. Проверим, чтобы решение сошлось с данным ответом: x(t) = -1 + 2t + 3e^{-2t}.

Решение:

1. Общий вид уравнения: Уравнение имеет вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:
   x'(t) + p(t)x(t) = q(t),
   где p(t) = 2 и q(t) = 4t.

2. Метод решения — метод интегрирующего множителя:

   Интегрирующий множитель \mu(t) определяется как:
   \mu(t) = e^{\int p(t) \, dt}.

   Подставляем p(t) = 2:
   \mu(t) = e^{\int 2 \, dt} = e^{2t}.

3. Умножение уравнения на интегрирующий множитель:

   Умножаем всё уравнение на \mu(t) = e^{2t}:
   e^{2t}x'(t) + 2e^{2t}x(t) = 4te^{2t}.

   Левая часть уравнения теперь является полной производной:
   \frac{d}{dt} \big(e^{2t}x(t)\big) = 4te^{2t}.

4. Интегрирование обеих частей уравнения:

   Интегрируем обе части уравнения:
   \int \frac{d}{dt} \big(e^{2t}x(t)\big) \, dt = \int 4te^{2t} \, dt.

   Левая часть просто равна e^{2t}x(t).
   Для правой части используем метод интегрирования по частям:
   \int 4te^{2t} \, dt.

   Пусть u = t, тогда du = dt,
   и dv = 4e^{2t}dt, тогда v = 2e^{2t}.

   По формуле интегрирования по частям:
   \int u \, dv = uv - \int v \, du, получаем:
   \int 4te^{2t} \, dt = 4 \big(te^{2t} - \int e^{2t} \, dt\big).
   Интегрируем \int e^{2t} \, dt:
   \int e^{2t} \, dt = \frac{1}{2}e^{2t}.

   Подставляем:
   \int 4te^{2t} \, dt = 4 \big(te^{2t} - \frac{1}{2}e^{2t}\big) = 4te^{2t} - 2e^{2t}.

5. Общее решение:

   Подставляем результат интегрирования:
   e^{2t}x(t) = 4te^{2t} - 2e^{2t} + C,
   где C — произвольная постоянная интегрирования.

   Делим обе стороны на e^{2t}:
   x(t) = 4t - 2 + Ce^{-2t}.

6. Используем начальное условие x(0) = 2:

   Подставляем t = 0 и x(0) = 2:
   2 = 4 \cdot 0 - 2 + C \cdot e^{0}.
   2 = -2 + C.
   C = 4.

7. Записываем окончательное решение:

   Подставляем C = 4 в общее решение:
   x(t) = 4t - 2 + 4e^{-2t},
   или, после упрощения:
   x(t) = -1 + 2t + 3e^{-2t}.

Проверка:

Решение совпадает с данным ответом: x(t) = -1 + 2t + 3e^{-2t}.