Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Условие:

y’’+2y’-8y=0

Решение:

Задание относится к предмету математики, разделу "Дифференциальные уравнения"

Конкретно, это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим дифференциальное уравнение: \(y+2y8y=0\) Решение таких уравнений начинается с поиска общего решения характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составляется путём замены \(y\) на \(r2\), \(y\) на \(r\) и \(y\) на 1: \(r2+2r8=0\)

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдём его корни по формуле: \(r=b±b24ac2a\) Где \(a=1\), \(b=2\), \(c=8\). Подставляем значения: \(r=2±2241(8)21\) \(r=2±4+322\) \(r=2±362\) \(r=2±62\)

Теперь найдём два значения \(r\): 1. \(r1=2+62=42=2\) 2. \(r2=262=82=4\) Корни характеристического уравнения равны \(r1=2\) и \(r2=4\). Эти корни различны и вещественные, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения записывается как: \(y(t)=C1er1t+C2er2t\) \(y(t)=C1e2t+C2e4t\) Где \(C1\) и \(C2\) — произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка: \(y(t)=C1e2t+C2e4t\) Это и есть полный ответ.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут