Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Задание относится к предмету математики, разделу "Дифференциальные уравнения"

Конкретно, это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим дифференциальное уравнение: \( y'' + 2y' - 8y = 0 \) Решение таких уравнений начинается с поиска общего решения характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составляется путём замены \(y''\) на \(r^2\), \(y'\) на \(r\) и \(y\) на 1: \( r^2 + 2r - 8 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдём его корни по формуле: \( r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) Где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -8 \). Подставляем значения: \( r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \) \( r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \) \( r = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \) \( r = \frac{-2 \pm 6}{2} \)

Теперь найдём два значения \(r\): 1. \( r_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) 2. \( r_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \) Корни характеристического уравнения равны \(r_1 = 2\) и \(r_2 = -4\). Эти корни различны и вещественные, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения записывается как: \( y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \) \( y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-4t} \) Где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка: \( y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-4t} \) Это и есть полный ответ.