Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Задание относится к предмету математики, разделу "Дифференциальные уравнения"

Конкретно, это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим дифференциальное уравнение: $\text{(}{y}^{″}+2y^{\prime }-8y=0\text{)}$ Решение таких уравнений начинается с поиска общего решения характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составляется путём замены $\text{(}{y}^{″}\text{)}$ на $\text{(}{r}^2\text{)}$, $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$ на $\text{(}r\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$ на 1: $\text{(}{r}^2+2r-8=0\text{)}$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдём его корни по формуле: $\text{(}r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{)}$ Где $\text{(}a=1\text{)}$, $\text{(}b=2\text{)}$, $\text{(}c=-8\text{)}$. Подставляем значения: $\text{(}r=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}\text{)}$ $\text{(}r=\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}\text{)}$ $\text{(}r=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}\text{)}$ $\text{(}r=\frac{-2\pm 6}{2}\text{)}$

Теперь найдём два значения $\text{(}r\text{)}$: 1. $\text{(}{r}_1=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2\text{)}$ 2. $\text{(}{r}_2=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4\text{)}$ Корни характеристического уравнения равны $\text{(}{r}_1=2\text{)}$ и $\text{(}{r}_2=-4\text{)}$. Эти корни различны и вещественные, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения записывается как: $\text{(}y(t)=C_1{e}^{r_{1}t}+C_2{e}^{r_{2}t}\text{)}$ $\text{(}y(t)=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{-4t}\text{)}$ Где $\text{(}{C}_1\text{)}$ и $\text{(}{C}_2\text{)}$ — произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка: $\text{(}y(t)=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{-4t}\text{)}$ Это и есть полный ответ.