Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано уравнение:
y'' + 2y' = -x + 3

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:
y'' + 2y' = 0

Характеристическое уравнение:
r^2 + 2r = 0
r(r + 2) = 0
Корни:
r_1 = 0, \quad r_2 = -2

Общее решение однородного уравнения:
y_h = C_1 + C_2 e^{-2x}

Шаг 2. Поиск частного решения

Правая часть уравнения: -x + 3 — это многочлен первой степени.

Ищем частное решение в виде многочлена первой степени:
y_p = Ax + B

Подставим в уравнение:

y_p' = A, \quad y_p'' = 0

Подставляем в уравнение:
0 + 2A = -x + 3

Слева — постоянное число 2A, справа — выражение с переменной x. Значит, предположение нужно расширить.

Попробуем частное решение в виде многочлена второй степени:
y_p = Ax^2 + Bx + C

Тогда:
y_p' = 2Ax + B
y_p'' = 2A

Подставим в уравнение:
y_p'' + 2 y_p' = 2A + 2(2Ax + B) = 2A + 4Ax + 2B

Это должно равняться правой части:
-x + 3

Приравниваем коэффициенты при степенях x:
4A = -1 \implies A = -\frac{1}{4}
2A + 2B = 3

Подставляем найденное значение A:
2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + 2B = 3 \implies -\frac{1}{2} + 2B = 3 \implies 2B = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \implies B = \frac{7}{4}

Константа C не влияет на уравнение, так как при дифференцировании она исчезает, можно положить C = 0.

Итоговое общее решение:

y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{-2x} - \frac{1}{4} x^2 + \frac{7}{4} x

Если нужно, могу помочь с начальным условием или построением графика решения.