Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Данное уравнение \( y' + f(x) \cdot y = g(x) \) — это пример линейного дифференциального уравнения первого порядка. Давайте разберем и решим его пошагово. Предмет: Математика. Раздел: Дифференциальные уравнения.

Шаг 1: Приведение уравнения к удобному виду

Уравнение уже находится в стандартной форме линейного уравнения первого порядка: \[ y' + f(x) \cdot y = g(x) \]

Шаг 2: Поиск общего решения

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка используем метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель \( \mu(x) \) находится по формуле: \[ \mu(x) = e^{\int f(x) \, dx} \]

Шаг 3: Определение интегрирующего множителя

Найдем \(\mu(x)\): \[ \mu(x) = e^{\int f(x) \, dx} \]

Шаг 4: Умножение уравнения на интегрирующий множитель

Полное уравнение умножается на \(\mu(x)\): \[ \mu(x) \cdot y' + \mu(x) \cdot f(x) \cdot y = \mu(x) \cdot g(x) \] Следующее преобразование заметно упростит уравнение: \[ (\mu(x) \cdot y)' = \mu(x) \cdot g(x) \]

Шаг 5: Интегрирование обеих частей уравнения

Интегрируем обе части уравнения по \(x\) для получения общего решения: \[ \int (\mu(x) \cdot y)' \, dx = \int \mu(x) \cdot g(x) \, dx \] Левая часть уравнения сводится к: \[ \mu(x) \cdot y = \int \mu(x) \cdot g(x) \, dx + C \] где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Шаг 6: Выражение общего решения

Выражаем \(y\): \[ y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) \cdot g(x) \, dx + C \right) \]

Финальный результат

Общее решение данной задачи в полном виде: \[ y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) \cdot g(x) \, dx + C \right) \] где:

• \( \mu(x) = e^{\int f(x) dx} \) — интегрирующий множитель,
• \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Главное — быть внимательным при интегрировании \( \int f(x) \, dx \) и \( \int \mu(x) \cdot g(x) \, dx \). На этом этапе могут быть использованы различные методы интегрирования в зависимости от формы функции \( f(x) \) и \( g(x) \). Если у вас есть конкретные функции \(f(x)\) и \(g(x)\), укажите их, и мы решим уравнение с этими функциями.