Краевые задачи уравнения лапласа в плоской области

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, краевые задачи

Уравнение Лапласа является одним из фундаментальных уравнений математической физики. В плоской области оно записывается в виде:

 \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, 

где u(x, y) — искомая функция, а \Delta — оператор Лапласа.

Постановка краевой задачи

Краевая задача для уравнения Лапласа в плоской области включает:

1. Уравнение Лапласа: \Delta u = 0.
2. Граничные условия: задаются на границе области, например:
   • Дирихле: функция u(x, y) задана на границе \Gamma. u|_{\Gamma} = f(x, y).
   • Неймана: задана нормальная производная функции на границе \Gamma. \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{\Gamma} = g(x, y).
   • Смешанные условия: комбинация условий Дирихле и Неймана.

Пример задачи

Рассмотрим задачу в прямоугольной области \Omega = \{(x, y) : 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b\}, с граничными условиями Дирихле:

 u(0, y) = 0, \quad u(a, y) = 0, \quad u(x, 0) = 0, \quad u(x, b) = \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right). 

Решение методом разделения переменных

Ищем решение в виде u(x, y) = X(x)Y(y). Подставляем в уравнение Лапласа:

 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0. 

Разделяем переменные:

 \frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = \lambda, 

где \lambda — разделяющая константа. Получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

1. Для X(x): \quad X''(x) + \lambda X(x) = 0.
2. Для Y(y): \quad Y''(y) - \lambda Y(y) = 0.

Решение для X(x)

Находим собственные значения, учитывая граничные условия X(0) = 0 и X(a) = 0:

 X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right), \quad \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \ldots 

Решение для Y(y)

Решаем уравнение Y''(y) - \lambda Y(y) = 0 с найденными значениями \lambda_n:

 Y_n(y) = A_n e^{\frac{n\pi y}{a}} + B_n e^{-\frac{n\pi y}{a}}. 

Учитывая граничные условия, подбираем коэффициенты.

Итоговое решение

Общее решение записывается в виде ряда:

 u(x, y) = \sum_{n=1}^\infty C_n \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right), 

где коэффициенты C_n определяются из граничных условий.

Если нужна помощь с конкретным примером или более детальными расчетами, уточните!