Краевая задача для волнового уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения с частными производными (ДУЧП), метод разделения переменных (метод Фурье)
Тип задачи: Краевая задача для волнового уравнения

Вариант 4:

Дана задача:  \begin{cases} u_{tt} = 16u_{xx}, \ u_x(0,t) = u\left(\dfrac{\pi}{2},t\right) = 0, \ u(x,0) = 3\cos x + 4\cos 9x, \ u_t(x,0) = \dfrac{5}{2}\cos 3x. \end{cases} 

Шаг 1: Определим тип краевой задачи

Это волновое уравнение с краевыми условиями первого рода (Неймана) в одной точке и второго рода (Дирихле) в другой:

• Условие на производную: u_x(0,t) = 0
• Условие на значение: u(\frac{\pi}{2},t) = 0

Шаг 2: Метод разделения переменных

Предположим решение в виде: u(x,t) = X(x)T(t)

Подставим в уравнение: X(x)T''(t) = 16X''(x)T(t)

Разделим переменные: \dfrac{T''(t)}{16T(t)} = \dfrac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda

Шаг 3: Найдём собственные функции и собственные значения

Рассмотрим ОДУ для X(x): X''(x) + \lambda X(x) = 0

С краевыми условиями:  \begin{cases} X'(0) = 0, \ X\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \end{cases} 

Случай 1: \lambda = 0

X'' = 0 \Rightarrow X(x) = C_1x + C_2

Условие X'(0) = 0 \Rightarrow C_1 = 0, тогда X(x) = C_2

Условие X(\frac{\pi}{2}) = 0 \Rightarrow C_2 = 0

Решение тривиальное ⇒ \lambda = 0 не подходит.

Случай 2: \lambda < 0

Пусть \lambda = -\mu^2, тогда: X'' - \mu^2 X = 0 \Rightarrow X = A \exp(\mu x) + B \exp(-\mu x)

Условие X'(0) = 0 \Rightarrow A\mu - B\mu = 0 \Rightarrow A = B

X(x) = A(e^{\mu x} + e^{-\mu x}) = 2A\cosh(\mu x)

Условие X(\frac{\pi}{2}) = 0 \Rightarrow \cosh(\mu \frac{\pi}{2}) = 0 — невозможно.

Значит, \lambda < 0 не подходит.

Случай 3: \lambda > 0

Пусть \lambda = \omega^2, тогда: X'' + \omega^2 X = 0 \Rightarrow X = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)

Условие X'(0) = 0 \Rightarrow -A\omega \sin(0) + B\omega \cos(0) = 0 \Rightarrow B = 0

X(x) = A\cos(\omega x)

Условие X(\frac{\pi}{2}) = 0 \Rightarrow \cos(\omega \frac{\pi}{2}) = 0

\omega \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \Rightarrow \omega = (2n+1)

Таким образом, собственные значения: \lambda_n = (2n+1)^2, собственные функции: X_n(x) = \cos((2n+1)x)

Шаг 4: Решение для T(t)

T''(t) + 16\lambda_n T(t) = 0 \Rightarrow T'' + 16(2n+1)^2 T = 0

Общее решение: T_n(t) = A_n \cos(4(2n+1)t) + B_n \sin(4(2n+1)t)

Шаг 5: Общее решение задачи

 u(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \left[ A_n \cos(4(2n+1)t) + B_n \sin(4(2n+1)t) \right] \cos((2n+1)x) 

Шаг 6: Используем начальные условия

Условие 1: u(x,0) = 3\cos x + 4\cos 9x

Подставим t = 0:  u(x,0) = \sum_{n=0}^\infty A_n \cos((2n+1)x) = 3\cos x + 4\cos 9x 

Отсюда:
A_0 = 3 (так как \cos(1x))
A_4 = 4 (так как \cos(9x))
Остальные A_n = 0

Условие 2: u_t(x,0) = \dfrac{5}{2} \cos 3x

Вычислим производную:  u_t(x,0) = \sum_{n=0}^\infty -4(2n+1) B_n \cos((2n+1)x) 

Приравниваем:  \sum_{n=0}^\infty -4(2n+1) B_n \cos((2n+1)x) = \dfrac{5}{2} \cos 3x 

\cos 3x = \cos((2\cdot1+1)x) ⇒ n = 1

Получаем: -4\cdot3 B_1 = \dfrac{5}{2} \Rightarrow B_1 = -\dfrac{5}{24}

Финальный ответ:

 u(x,t) = 3\cos x \cdot \cos(4t) + 4\cos 9x \cdot \cos(36t) - \dfrac{5}{24} \sin(12t)\cos 3x 

Проверка:

Подставим t = 0:  u(x,0) = 3\cos x + 4\cos 9x  — совпадает ✅

 u_t(x,0) = -3\cdot4\cdot0 \cdot \cos x - 4\cdot36\cdot0 \cdot \cos 9x - \dfrac{5}{24} \cdot 12 \cdot \cos 3x = \dfrac{5}{2} \cos 3x  — совпадает ✅

Если нужно, могу переписать это решение в тетрадный вид.