Какие из уравнений являются линейными

На изображении приведены дифференциальные уравнения первого порядка.

Задача состоит в том, чтобы определить, какие из этих уравнений являются линейными. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно выражено в форме: \[ a_1(x) \cdot y + a_0(x) \cdot y' = b(x), \] где \( y' \) — производная функции \( y \) по \( x \), а \( a_0(x) \), \( a_1(x) \) и \( b(x) \) — некоторые функции от \( x \), не зависящие от \( y \).

Теперь просмотрим уравнения:

1. \((y^2 - 2xy)dx + x^2dy = 0\); это нелинейное уравнение, так как есть член \( y^2 \).
2. \(y' + 3xy = x^3\); это линейное уравнение, оно имеет вид \( a_1(x) \cdot y + a_0(x) \cdot y' = b(x) \), где \( a_1(x) = 3x \), \( a_0(x) = 1 \), \( b(x) = x^3 \).
3. \(y' + 2xy = xy^3\); это нелинейное уравнение из-за члена \( xy^3 \).
4. \((x^2 + y^2)y' = 2xy\); это нелинейное уравнение, так как есть квадратичные члены, зависящие от \( y \).
5. \(y' + e^{xy} = e^{2x}\); это нелинейное уравнение, так как функция \( e^{xy} \) включает произведение переменных \( x \) и \( y \).

Итак, линейное уравнение здесь только одно — под номером 2.