Какие из приведенных ниже интегралов вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям?

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Формула интегрирования по частям имеет вид:
\int u \, dv = uv - \int v \, du

Применение метода интегрирования по частям целесообразно в случаях, когда интеграл содержит произведение функций, одна из которых легко дифференцируется, а другая легко интегрируется.

Рассмотрим предложенные интегралы:

1. \int \frac{\arctg x}{1+x^2} dx

   • Здесь подынтегральное выражение можно упростить, используя замену t = \arctg x, так как dt = \frac{dx}{1+x^2}.
   • Этот интеграл решается без метода интегрирования по частям.

2. \int \frac{\sqrt{\arctg x}}{1+x^2} dx

   • Аналогично первому интегралу, можно использовать замену t = \arctg x, но метод интегрирования по частям не требуется.

3. \int \arctg x \, dx

   • Здесь удобно взять u = \arctg x, тогда du = \frac{dx}{1+x^2}, а dv = dx, откуда v = x.
   • Этот интеграл вычисляется по частям.

4. \int \frac{dx}{\arctg x (1+x^2)}

   • Здесь целесообразна подстановка t = \arctg x, но метод интегрирования по частям не применяется.

5. \int x \arctg x \, dx

   • Здесь можно взять u = \arctg x, тогда du = \frac{dx}{1+x^2}, а dv = x dx, откуда v = \frac{x^2}{2}.
   • Этот интеграл вычисляется по частям.

Ответ:
Метод интегрирования по частям применяется к интегралам 3 и 5.