Какие из предложенных дифференциальных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными

Этот вопрос относится к предмету "Дифференциальные уравнения" в курсе высшей математики.

Мы должны определить, какие из предложенных дифференциальных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными. Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: \[ f(y) \, dy = g(x) \, dx \]

Проверим каждое из предложенных уравнений.

1. \( y' \cos^2 x + y = \tg x \)
   Перепишем уравнение: \[ y' \cos^2 x + y = \tg x \]
   \[ y' \cos^2 x = \tg x - y \]
   Это уравнение не имеет вид с разделяющимися переменными, т.к. функции от \( y \) и \( x \) невозможно разделить.
2. \( y' + \frac{y}{x} = -y^2 \)
   Перепишем уравнение: \[ y' + \frac{y}{x} = -y^2 \]
   \[ y' = -y^2 - \frac{y}{x} \]
   \( y \) и \( x \) не удается разделить. Уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными.
3. \( (1+y^2) dx = xy \, dy \)
   Перепишем уравнение: \[ \frac{1}{1+y^2} \, dy = \frac{x}{x} \, dx \]
   \[ \frac{1}{1+y^2} \, dy = dx \]
   В этом уравнении \( y \) в левой части и \( x \) в правой части, их можно разделять. Это уравнение с разделяющимися переменными.
4. \( xy' + x e^y = 0 \)
   Перепишем уравнение: \[ xy' = - x e^y \]
   Упрощаем: \[ y' = - e^y \]
   \[ \frac{dy}{e^y} = - dx \]
   В этом уравнении \( y \) в левой части и \( x \) в правой части, их можно разделять. Это уравнение с разделяющимися переменными.

Ответ: Уравнениями с разделяющимися переменными являются:

• \[ 3) (1+y^2) dx = xy \, dy \]
• \[ 4) xy' + x e^y = 0 \]