Какие дифференциальные уравнения являются линейными?

Это задание относится к предмету "математика", раздел "дифференциальные уравнения".

Давайте разберемся, какие из данных уравнений являются линейными.

Линейные дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:\( a(x)y' + b(x)y = c(x) \), где \( y' \) - это производная \( y \) по \( x \), и \( a(x), b(x), c(x) \) - некоторые функции от \( x \).

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:\( a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = d(x) \), где \( y'' \) - это вторая производная \( y \) по \( x \), и \( a(x), b(x), c(x), d(x) \) - некоторые функции от \( x \).

Линейное уравнение не должно содержать нелинейных (по \( y \) или \( y' \)) членов, таких как \( y^2, (y')^2, yy', \sqrt{y} \), и так далее.

Теперь проверим каждое из данных уравнений на линейность.

Уравнение (1)

\( (x + y^2)dy = y\,dx \)

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

\( (x + y^2)\frac{dy}{dx} = y \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y^2} \)

Это уравнение явно нелинейное, так как присутствует член \( y^2 \).

Уравнение (2)

\( xy' - 2y = 2x^2 \)

Перепишем в стандартной форме:

\( xy' - 2y = 2x^2 \)

\( xy' = 2x^2 + 2y \)

\( y' = \frac{2x^2 + 2y}{x} \)

\( y' = 2x + \frac{2y}{x} \)

Имейте в виду, что линейное уравнение второго порядка имеет вид:

\( y' + p(x)y = q(x) \)

\( y' = -p(x)y + q(x) \)

Мы видим, что \( p(x) = - \frac{2}{x} \) и \( q(x) = 2x \). Это линейное уравнение.

Уравнение (3)

\( 2y' - x = 4\sqrt{y} \)

Перепишем в стандартной форме:

\( 2y' = x + 4\sqrt{y} \)

\( y' = \frac{x}{2} + 2\sqrt{y} \)

Это уравнение нелинейное из-за присутствия корня \( \sqrt{y} \).

Уравнение (4)

\( 2x^2yy' + y^2 = 2 \)

Перепишем в стандартной форме:

\( 2x^2yy' = 2 - y^2 \)

\( y' = \frac{2 - y^2}{2x^2y} \)

Это уравнение снова явно нелинейное из-за наличия \( y^2 \).

Итак, какое из данных уравнений является линейным?

Только уравнение (2): \( xy' - 2y = 2x^2 \) является линейным дифференциальным уравнением.