Изучение неравенств с модулями

Мы имеем задание, связанное с изучением неравенств с модулями в рамках курса алгебры.

Задание:

Рассмотрим неравенство: \[ |x + 2| < 1 \]

Решение:

Неравенство с абсолютной величиной типа \(|A| < B \) (где \(B > 0 \)) можно преобразовать в двойное неравенство: \[-B < A < B \]

В нашем случае, \(A = x + 2 \) и \(B = 1 \). Подставим это в наше неравенство: \[-1 < x + 2 < 1 \]

Теперь нужно решить полученное двойное неравенство. Для этого разделим его на два отдельных неравенства и будем решать каждое по очереди:

1. \( -1 < x + 2 \)
2. \(x + 2 < 1 \)

Решим первое неравенство:

\[-1 < x + 2 \] Вычтем 2 из обеих частей неравенства: \[-1 - 2 < x \] \[-3 < x \] Это эквивалентно: \(x > -3 \)

Решим второе неравенство:

\(x + 2 < 1 \) Вычтем 2 из обеих частей неравенства: \[x + 2 - 2 < 1 - 2 \] \[x < -1 \]

Совместные условия:

Мы получили два неравенства: \[x > -3 \] \[x < -1 \] Объединяя эти два неравенства, получаем окончательный ответ: \[-3 < x < -1 \]

Итог:

Решение неравенства \( |x + 2| < 1 \) есть: \[-3 < x < -1 \]

Таким образом, все числа \(x \), удовлетворяющие этому неравенству, лежат в интервале от -3 до -1, не включая крайние точки.

Проверка:

Для уверенности можем проверить несколько значений из интервала и вне его.

1. Возьмем \(x = -2 \) (лежащее внутри интервала): \[| -2 + 2 | = | 0 | = 0 \] 0 < 1, значение удовлетворяет неравенству.
2. Возьмем \(x = -4 \) (за пределами интервала): \[| -4 + 2 | = | -2 | = 2 \] 2 > 1, значение не удовлетворяет неравенству.

Решение верное.
Ответ: \[-3 < x < -1 \].