Изучение экстремумов функций и их производных

Этот вопрос относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ". Конкретно он относится к изучению экстремумов функций и их производных. Рассмотрим каждый вариант ответа:

1. "В точке экстремума функция меняет знак." Этот вариант неверен. Функция в точке экстремума (максимума или минимума) не обязательно меняет знак. Например, парабола \( y = x^2 \) имеет минимум в точке \( x = 0 \), но функция в этой точке не меняет знака.
2. "В точке экстремума производная равна нулю и проходя через нее меняет знак." Этот вариант частично верен. В точке экстремума действительно часто производная равна нулю, и производная может менять знак при переходе через экстремум. Тем не менее, существуют точки экстремума, где производная не меняет знак (например, точки перегиба).
3. "Функция не может иметь экстремума в точке, где производная не существует." Этот вариант неверен. Функция может иметь экстремум в точке, где производная не существует. Пример: функция \( y = |x| \) имеет минимум в точке \( x = 0 \), где производная не существует.
4. "В точке экстремума необходимо и достаточно, чтобы производная равнялась нулю." Этот вариант неверен. Это условие является необходимым, но не достаточным. Например, для функции \( y = x^3 \) производная равна нулю в точке \( x = 0 \), но эта точка не является экстремумом.

Таким образом, правильный ответ - второй вариант ответа: "В точке экстремума производная равна нулю и проходя через нее меняет знак."