Исследуйте следующую обобщенную модель Вольтерра – Лотки типа«хищник – жертва» – систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Предмет: Математика

Раздел предмета: Дифференциальные уравнения, математическая биология (модель Вольтерра-Лотки)

Перед нами обобщённая модель Вольтерра-Лотки "хищник- жертва", записанная системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Эта модель позволяет описать взаимодействие двух популяций: популяции травоядных (жертва) и популяции хищников. Обозначения:

• \( N_1(t) \) — размер популяции жертв (например, травоядные) в момент времени \( t \),
• \( N_2(t) \) — размер популяции хищников в момент времени \( t \),
• \( r_1 \) — скорость размножения жертв в отсутствии хищников,
• \( r_2 \) — скорость вымирания хищников в отсутствии жертв,
• \( \gamma_1 \) — коэффициент взаимодействия между популяцией жертв и хищников (влияние хищников на жертв),
• \( \gamma_2 \) — коэффициент взаимодействия между популяцией жертв и хищников (влияние жертв на хищников),
• \( K \) — емкость окружающей среды (максимальный размер популяции жертв, который может поддерживать ареал).

Первое уравнение:

\[ \frac{dN_1(t)}{dt} = r_1 N_1(t) \left[1 - \frac{N_1(t)}{K} \right] - \gamma_1 N_1(t) N_2(t) \]

Это уравнение описывает динамику популяции жертв \( N_1(t) \). Здесь \( r_1 N_1(t) \left(1 - \frac{N_1(t)}{K} \right) \) — это прирост популяции жертв с учетом ограничения по ёмкости среды \( K \) (модель логистического роста), а выражение \( -\gamma_1 N_1(t) N_2(t) \) описывает уменьшение количества жертв из-за взаимодействия с хищниками.

Второе уравнение:

\[ \frac{dN_2(t)}{dt} = -r_2 N_2(t) + \gamma_2 N_1(t) N_2(t) \]

Это уравнение описывает динамику популяции хищников. Термин \( -r_2 N_2(t) \) отвечает за естественное вымирание хищников, если отсутствуют жертвы. Термин \( \gamma_2 N_1(t) N_2(t) \) описывает прирост популяции хищников за счет поедания жертв.

Физический смысл параметра \( K \):

\( K \) — это ёмкость окружающей среды, максимальное количество жертв, которое может существовать в ареале. Если \( N_1(t) \) приближается к \( K \), то прирост популяции жертв убывает (так как ресурсов больше не хватает), а если \( N_1(t) \)