Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление и исследование функции
Задание: Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить график функции:
\[ y = 1 + 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \]
Шаг 1: Нахождение первой производной \( y' \)
Первая производная нужна для нахождения критических точек (точек, в которых возможны экстремумы), а также для исследования возрастания и убывания функции. Функция дана: \[ y = 1 + 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \]
Найдём производную по \( x \):
1. Производная от \( 1 \) равна \( 0 \), так как это константа.
2. Производная от \( 2x^2 \) равна \( 4x \), по правилу дифференцирования степенной функции: \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \).
3. Производная от \( -\frac{1}{4}x^4 \) равна \( -x^3 \), опять же по правилу дифференцирования степенной функции.
Таким образом, первая производная функции: \[ y' = 4x - x^3 \]
Шаг 2: Нахождение критических точек
Для нахождения критических точек, приравниваем первую производную к нулю: \[ y' = 4x - x^3 = 0 \]
Решаем уравнение: \[ x(4 - x^2) = 0 \]
Тогда:
1. \( x = 0 \)
2. \( 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)
Итак, мы получили критические точки: \( x = 0, x = 2, x = -2 \).
Шаг 3: Нахождение второй производной \( y'' \)
Для выяснения характера критических точек (минимум, максимум, перегиб), найдём вторую производную: \[ y' = 4x - x^3 \]
Найдём производную от \( y' \):
1. Производная от \( 4x \) равна \( 4 \).
2. Производная от \( -x^3 \) равна \( -3x^2 \).
Таким образом: \[ y'' = 4 - 3x^2 \]
Шаг 4: Исследование на экстремумы
Теперь исследуем знак второй производной в критических точках:
1. \( y''(0) = 4 - 3(0)^2 = 4 \). Поскольку \( y''(0) > 0 \), в точке \( x = 0 \) функция имеет **локальный минимум**.
2. \( y''(2) = 4 - 3(2)^2 = 4 - 12 = -8 \). Поскольку \( y''(2) < 0 \), в точке \( x = 2 \) функция имеет **локальный максимум**.
3. \( y''(-2) = 4 - 3(-2)^2 = 4 - 12 = -8 \). Поскольку \( y''(-2) < 0 \), в точке \( x = -2 \) функция имеет **локальный максимум**.
Шаг 5: Нахождение точек перегиба
Точки перегиба можно искать, решив уравнение \( y'' = 0 \):
\[ 4 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \]
Это будут точки перегиба: \[ x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \]
Шаг 6: Построение графика
Теперь у нас есть вся необходимая информация для построения графика:
1. **Критические точки**: \( x = 0, x = 2, x = -2 \).
- Минимум в \( x = 0 \).
- Максимумы в \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
2. **Точки перегиба**: \( x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \).
3. Функция чётная, так как все степени \( x \) чётные, а следовательно, график симметричен относительно оси \( y \).
Эскиз:
1. В точке \( x = 0 \) график достигает минимума.
2. В точках \( x = 2 \) и \( x = -2 \) — максимумы.
3. Линия плавно поднимается к максимумам и спускается от них, имея характерные точки перегиба.
График функции:
На оси \( y \) функция выглядит как "купол" с локальными максимумами и минимумом.
Заключение:
Таким образом, при исследовании функции \( y = 1 + 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \) средствами дифференциального исчисления были найдены критические точки \( x = 0, x = \pm2 \), точки перегиба \( x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \), а также построен эскиз графика данной функции.