Исследовать систему векторных дифференциальных уравнений первого порядка и определить её состояния равновесия

Определение предмета: Задание относится к дифференциальным уравнениям и, более конкретно, к разделу качественного исследования систем дифференциальных уравнений. Здесь требуется исследовать систему векторных дифференциальных уравнений первого порядка и определить её состояния равновесия.

Задание:

Даны уравнения системы:

\[ \frac{dx}{dt} = P(x, y) = -x(x - 3) - y \tag{2.1.8}, \] \[ \frac{dy}{dt} = Q(x, y) = \frac{1}{4} y (x - 2) \tag{2.1.9}. \]

1. Определение состояний равновесия системы (2.1.8) и (2.1.9).

Состояние равновесия системы (или стационарная точка) — это точка \((x^*, y^*)\), при которой оба уравнения обращаются в ноль, то есть \(\frac{dx}{dt} = 0\) и \(\frac{dy}{dt} = 0\). Рассмотрим каждое уравнение отдельно: 1. \[ P(x, y) = -x(x - 3) - y = 0 \tag{2.1.8} \] 2. \[ Q(x, y) = \frac{1}{4} y (x - 2) = 0 \tag{2.1.9}. \]

Решим эту систему уравнений:

Шаг 1: Решение уравнения \(\frac{dy}{dt} = 0\).

\[ Q(x, y) = \frac{1}{4} y (x - 2) = 0. \] Это уравнение будет равно нулю при двух возможных условиях: 1. \(y = 0\), или 2. \(x = 2\).

Шаг 2: Подставляем \(y = 0\) в первое уравнение.

При \(y = 0\), уравнение (2.1.8) становится: \[ -x(x - 3) = 0. \] \[ x(x - 3) = 0. \] Отсюда получаем два значения \(x\): \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3. \] Таким образом, мы нашли два состояния равновесия при \(y = 0\): \[ (x^*, y^*) = (0, 0) \quad \text{и} \quad (x^*, y^*) = (3, 0). \]

Шаг 3: Рассмотрим случай \(x = 2\).

Теперь подставим \(x = 2\) в уравнение (2.1.8): \[ -x(x - 3) - y = 0 \Rightarrow -2(2 - 3) - y = 0. \] \[ 2 - y = 0 \Rightarrow y = 2. \] Таким образом, мы нашли третью точку равновесия: \[ (x^*, y^*) = (2, 2). \]

Состояния равновесия:

Мы определили три состояния равновесия системы (2.1.8) и (2.1.9): \[ (0, 0), \quad (3, 0), \quad (2, 2). \]

2. Линеаризация системы в окрестности точки равновесия \( (2, 2) \).

Теперь необходимо линеаризовать систему в точке \( (x^*, y^*) = (2, 2) \). Линеаризация представляет собой разложение системы в ряд Тейлора вблизи точки равновесия и рассмотрение линейной составляющей разложения. Для этого находим якобиан системы в этой точке. Якобиан состоит из частных производных функций \( P(x, y) \) и \( Q(x, y) \) по переменным \( x \) и \( y \). Якобиан записывается в виде матрицы: \[ J(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial P(x, y)}{\partial x} & \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} \\ \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} & \frac{\partial Q(x, y)}{\partial y} \end{pmatrix}. \]

Шаг 1: Находим частные производные функции \( P(x, y) \).

\[ P(x, y) = -x(x - 3) - y. \] 1. \[ \frac{\partial P(x, y)}{\partial x} = -2x + 3. \] 2. \[ \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = -1. \]

Шаг 2: Находим частные производные функции \( Q(x, y) \).

\[ Q(x, y) = \frac{1}{4} y (x - 2). \] 1.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.

Оставить заявку

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

• 22423 авторов готовы помочь тебе.
• 2402 онлайн