Исследовать сходимость ряда с помощью второго признака

Определим предмет и раздел предмета данного задания:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, теория рядов

Задание: Исследовать сходимость ряда \(\frac{2}{3n+5}\) с помощью второго признака сравнения.

Шаг 1: Формулировка второго признака сравнения

Второй признак сравнения для сходимости рядов гласит:

Если существуют положительные ряды \(\sum a_n\) и \(\sum b_n\) такие, что

• Для всех \(n\) больших некоторого \(N\), существует константа \(C > 0\) такая, что \(a_n \leq Cb_n\),
• Ряд \(\sum b_n\) сходится,

то ряд \(\sum a_n\) тоже сходится.

Шаг 2: Выбор сравниваемого ряда

Рассмотрим ряд \(\sum \frac{2}{3n+5}\). Для второго признака сравнения нам нужно выбрать сходящийся или расходящийся ряд \(\sum b_n\), который можно сравнить с данным рядом. Часто удобно выбирать гармонический ряд или его модификацию.

Заметим, что при больших \(n\) выражение \(3n + 5\) приближается к \(3n\). Поэтому, для \(n\) большого можно использовать ряд \(\sum \frac{1}{n}\).

Рассмотрим функцию: \[ \frac{2}{3n+5} \approx \frac{2}{3n} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{n} \]

Этот ряд (когда \(\sum \frac{1}{n}\)) известен как гармонический ряд и он расходится.

Шаг 3: Проверка условий второго признака сравнения

Для того чтобы использовать второй признак сравнения, нам нужно убедиться, что:

\[ a_n = \frac{2}{3n+5} \]

\[ b_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{n} \]

Теперь мы понем, можем ли наложить условие существования такой константы \(C\), что:

\[ a_n \leq C b_n \]

\[ \frac{2}{3n + 5} \leq C \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{n} \]

Шаг 4: Определение константы \(C\)

Рассмотрим неравенство:

\[ \frac{2}{3n+5} \leq \frac{2C}{3n} \]

Умножим обе части на \(3n \cdot (3n+5)\):

\[ 2 \cdot 3n \leq 2C \cdot (3n + 5) \]

Разделим обе части на \(2\):

\[ 3n \leq C \cdot (3n + 5) \]

Разделим обе части на \(3n\):

\[ 1 \leq C \left(1 + \frac{5}{3n}\right) \]

Для больших \(n\), \(\frac{5}{3n}\) будет достаточно малым, чтобы утверждать, что \(C\) может быть взято равным примерно 2.

Вывод:

Поскольку \(\frac{2}{3n+5}\) можно сравнить и "приблизительно" будет меньше, чем \( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{n} \), а гармонический ряд расходится, то по второму признаку сравнения ряд \(\sum \frac{2}{3n+5}\) также расходится.

Таким образом, ряд \(\sum \frac{2}{3n+5}\) не сходится.