Исследовать поле направлений, определяемое заданным уравнением

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (качественное исследование дифференциальных уравнений)

Задано дифференциальное уравнение:

y' = x + y

Это уравнение задаёт поле направлений. Проведём его исследование по пунктам:

1. Область задания уравнения

Правая часть уравнения x + y определена при всех (x, y) \in \mathbb{R}^2, то есть:

\text{Область задания: } \mathbb{R}^2

2. Изоклины

Изоклины — это линии, на которых производная y' постоянна, то есть:

y' = x + y = C, где C — константа.

Тогда изоклины задаются уравнением:

y = -x + C

Это семейство прямых с угловым коэффициентом -1, параллельных прямой y = -x.

3. Области возрастания и убывания решений

Рассматриваем знак производной y' = x + y:

• Если x + y > 0, то y' положительно ⇒ функция возрастает.
• Если x + y < 0, то y' отрицательно ⇒ функция убывает.
• Если x + y = 0, то y' = 0 ⇒ экстремум (горизонтальный касательный вектор).

Таким образом:

• Область возрастания: x + y > 0 (над прямой y = -x)
• Область убывания: x + y < 0 (под прямой y = -x)

4. Линии экстремумов

Линии экстремумов — это линии, где y' = 0, т.е.:

x + y = 0 \Rightarrow y = -x

Это прямая, на которой наклон касательной к интегральным кривым равен нулю (горизонтальные касательные).

5. Схематический чертёж интегральных кривых

Для построения интегральных кривых решим уравнение:

y' = x + y

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его методом вариации постоянной:

Шаг 1: Приведём уравнение к стандартному виду:

y' - y = x

Это уравнение имеет integrating factor (множитель):

\mu(x) = e^{-x}

Умножим обе части уравнения на \mu(x):

e^{-x} y' - e^{-x} y = x e^{-x}

Левая часть — это производная произведения:

\frac{d}{dx}(e^{-x} y) = x e^{-x}

Проинтегрируем обе части:

e^{-x} y = \int x e^{-x} dx

Интегрируем по частям:

Пусть u = x, dv = e^{-x} dx
Тогда du = dx, v = -e^{-x}

\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C

Следовательно:

e^{-x} y = -x e^{-x} - e^{-x} + C

Умножим на e^{x}:

y = -x - 1 + C e^{x}

Общее решение:

y(x) = -x - 1 + C e^{x}

Это семейство интегральных кривых, зависящих от параметра C.

6. Графическая интерпретация

• Все интегральные кривые асимптотически приближаются к прямой y = -x - 1 при x \to -\infty
• При x \to +\infty, поведение определяется экспонентой C e^x
• Изоклины — семейство прямых y = -x + C
• Линия экстремумов — прямая y = -x
• Векторное поле направлений можно построить, подставляя векторы (1, x + y) в различные точки плоскости.

Если нужно, я могу построить схематический график поля направлений и нескольких интегральных кривых.