Исследовать особые точки системы. Построить фазовые траектории

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения (Фазовые траектории и особые точки)

Дана система дифференциальных уравнений:

 \dot{x} = xy - 4, \quad \dot{y} = (x - 4)(y - x). 

Необходимо:

1. Исследовать особые точки системы.
2. Построить фазовые траектории.

Шаг 1. Нахождение особых точек

Особые точки находятся из условия \dot{x} = 0 и \dot{y} = 0.

Уравнение для \dot{x} = 0:

 xy - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad xy = 4. 

Уравнение для \dot{y} = 0:

 (x - 4)(y - x) = 0. 

Рассмотрим два случая:

1. x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4.
2. y - x = 0 \quad \Rightarrow \quad y = x.

Теперь находим пересечения этих условий:

1. Если x = 4, то xy = 4 \quad \Rightarrow \quad 4y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1.
   Таким образом, точка (4, 1) является особой.

2. Если y = x, то xy = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2.
   Соответствующие точки:

   • (2, 2),
   • (-2, -2).

Итак, особые точки:
(4, 1), \, (2, 2), \, (-2, -2).

Шаг 2. Линейный анализ особых точек

Для анализа типа особой точки линейризуем систему в окрестности каждой из них. Рассмотрим якобиан системы:

 J(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} \ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} \end{pmatrix}. 

Вычислим частные производные:

1. Для \dot{x} = xy - 4:
    \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} = x. 

2. Для \dot{y} = (x - 4)(y - x):
    \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} = (y - x) + (x - 4)(-1) = y - 2x + 4, \quad \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} = x - 4. 

Итак, якобиан:
 J(x, y) = \begin{pmatrix} y & x \ y - 2x + 4 & x - 4 \end{pmatrix}. 

Анализ для точки (4, 1):

Подставим x = 4 и y = 1 в якобиан:
 J(4, 1) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ 1 - 8 + 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ -3 & 0 \end{pmatrix}. 

Собственные значения определяются из характеристического уравнения:
 \det(J - \lambda I) = 0 \quad \Rightarrow \quad \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 4 \ -3 & -\lambda \end{pmatrix} = 0. 

Найдём определитель:
 (1 - \lambda)(-\lambda) - (-3)(4) = 0 \quad \Rightarrow \quad -\lambda + \lambda^2 + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2 - \lambda + 12 = 0. 

Дискриминант:
 D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47. 

Так как D < 0, то собственные значения комплексные с положительной вещественной частью. Следовательно, точка (4, 1) является неустойчивым фокусом.

Анализ для точки (2, 2):

Аналогично, подставим x = 2 и y = 2:
 J(2, 2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ 2 - 4 + 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ 2 & -2 \end{pmatrix}. 

Характеристическое уравнение:
 \det(J - \lambda I) = 0 \quad \Rightarrow \quad \det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 2 \ 2 & -2 - \lambda \end{pmatrix} = 0. 

Найдём определитель:
 (2 - \lambda)(-2 - \lambda) - (2)(2) = 0 \quad \Rightarrow \quad -\lambda^2 - 4 - 4\lambda - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2 + 4\lambda + 8 = 0. 

Дискриминант:
 D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16. 

Так как D < 0, то собственные значения комплексные с положительной вещественной частью. Следовательно, точка (2, 2) является неустойчивым фокусом.

Анализ для точки (-2, -2):

Аналогично, подставим x = -2 и y = -2:
 J(-2, -2) = \begin{pmatrix} -2 & -2 \ -2 - (-4) + 4 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \ 6 & -6 \end{pmatrix}. 

Характеристическое уравнение:
 \det(J - \lambda I) = 0 \quad \Rightarrow \quad \det \begin{pmatrix} -2 - \lambda & -2 \ 6 & -6 - \lambda \end{pmatrix} = 0. 

Найдём определитель:
 (-2 - \lambda)(-6 - \lambda) - (-2)(6) = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2 + 8\lambda + 12 = 0. 

Дискриминант:
 D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16. 

Собственные значения:
 \lambda_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2}. 

 \lambda_1 = -2, \quad \lambda_2 = -6. 

Обе вещественные и отрицательные, следовательно, точка (-2, -2) является устойчивым узлом.

Шаг 3. Построение фазовых траекторий

Для построения фазовых траекторий можно использовать численные методы или качественный анализ. Основные свойства:

• В точке (4, 1) и (2, 2) траектории закручиваются, так как это неустойчивые фокусы.
• В точке (-2, -2) траектории сходятся к узлу, так как он устойчивый.

Фазовые траектории можно изобразить с помощью программ, таких как Python (библиотека Matplotlib) или MATLAB.

Если требуется конкретная визуализация фазового портрета, сообщите, и я помогу с кодом!