Исследовать на экстремум функцию

Этот запрос относится к математике, а конкретно - к разделу "Математический анализ" и теме "Поиск экстремума функции".

Исследуем функцию \( Z = 2xy - 5x^2 - 3y^2 + 2 \) на экстремум. Для этого находим частные производные первого и второго порядков и решаем систему уравнений.

1. Найдем частные производные первого порядка: \[ \frac{\partial Z}{\partial x} = 2y - 10x \] \[ \frac{\partial Z}{\partial y} = 2x - 6y \]
2. Чтобы найти критические точки, приравняем эти производные к нулю: \[ 2y - 10x = 0 \] \[ 2x - 6y = 0 \] Решим эту систему уравнений: Первое уравнение: \( 2y = 10x \) или \( y = 5x \). Подставим \( y = 5x \) во второе уравнение: \[ 2x - 6(5x) = 0 \] \[ 2x - 30x = 0 \] \[ -28x = 0 \] \[ x = 0 \] Тогда \( y = 5(0) = 0 \). Критическая точка: \( (0, 0) \).
3. Найдем частные производные второго порядка, чтобы исследовать характер критической точки: \[ \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} = -10 \] \[ \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = -6 \] \[ \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 Z}{\partial y \partial x} = 2 \] Формула для определения вида критической точки: \[ D = \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} \right)^2 \] Подставим значения: \[ D = (-10)(-6) - (2)^2 = 60 - 4 = 56 \] Так как \( D > 0 \) и \(\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} < 0\), критическая точка является точкой максимума.

Итак, функция \( Z = 2xy - 5x^2 - 3y^2 + 2 \) имеет экстремум (точку максимума) в точке \( (0, 0) \).