Исследовать методами дифференциального исчисления функцию f (x) и на основании полученных результатов построить её график. y=(x+2)/x^3

Предмет: Математика (раздел — математический анализ, дифференциальное исчисление)

Мы получили задание исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить её график. Функция следующая: \[ y = \frac{x+2}{x^3} \] Или можно записать так: \[ y = (x+2) \cdot x^{-3} \]

1. Найдём область определения функции

Так как выражение содержит \(\frac{1}{x^3}\), функция не определена в точке \(x = 0\). Следовательно, область определения функции: \[ x \neq 0, \quad x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \]

2. Найдём первую производную

Нам нужно найти производную функции \(y = \frac{x+2}{x^3}\). Используем правило производной дроби: \[ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} \] Где:

• \(u(x) = x + 2\), тогда \(u'(x) = 1\);
• \(v(x) = x^3\), тогда \(v'(x) = 3x^2\).

Применяем формулу: \[ y' = \frac{1 \cdot x^3 - (x+2) \cdot 3x^2}{(x^3)^2} \] Сначала упростим числитель: \[ x^3 - 3x^2(x + 2) = x^3 - 3x^3 - 6x^2 = -2x^3 - 6x^2 \] Теперь можно записать первую производную: \[ y' = \frac{-2x^3 - 6x^2}{x^6} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{-2x^3 - 6x^2}{x^6} = -\frac{2x^2 + 6x}{x^6} = -\frac{2(x+3)}{x^4} \] Итак, производная функции: \[ y' = -\frac{2(x+3)}{x^4} \]

3. Точки экстремума

Экстремумы могут существовать там, где первая производная равна нулю или не существует. Найдём, когда первая производная равна нулю: \[ -\frac{2(x+3)}{x^4} = 0 \] Числитель равен нулю, когда: \[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] Эта точка — потенциальный экстремум. Теперь проверим знак производной до и после точки \(x = -3\): - Для \(x \in (-\infty, -3)\), \(y' > 0\); - Для \(x \in (-3, 0)\), \(y' < 0\). Таким образом, в точке \(x = -3\) функция имеет точку максимума.

4. Найдём вторую производную

Найдём производную от \(y' = -\frac{2(x+3)}{x^4}\), чтобы исследовать поведение функции более детально и определить вогнутость/выпуклость. Применим производную от дроби с переменной: \[ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \] Где:

• \(f(x) = -2(x+3)\), тогда \(f'(x) = -2\);
• \(g(x) = x^4\), тогда \(g'(x) = 4x^3\).

Подставляем: \[ y'' = \frac{-2 \cdot x^4 - (-2(x+3)) \cdot 4x^3}{x^8} = \frac{-2x^4 + 8(x+3) \cdot x^3}{x^8} \] Приведём числитель к более простому виду: \[ -2x^4 + 8(x+3) \cdot x^3 = -2x^4 + 8x^4 + 24x^3 = 6x^4 + 24x^3 \] Таким образом: \[ y'' = \frac{6x^4 + 24x^3}{x^8} = \frac{6(x + 4)}{x^5} \]

5. Исследуем вогнутость/выпуклость

Найдём знак второй производной: - Для \(x \in (-\infty, -4)\), \(y'' > 0\) — функция выпуклая; - Для \(x \in (-4,0)\), \(y'' < 0\) — функция вогнутая. Точка \(x = -4\) является точкой перегиба.

6. Асимптоты

Вертикальная асимптота:

Функция имеет разрыв в точке \(x = 0\), следовательно, существует вертикальная асимптота при \(x = 0\).

Горизонтальная асимптота:

Вычислим предел функции при \(x \to \infty\) и \(x \to -\infty\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x+2}{x^3} = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x+2}{x^3} = 0 \] Таким образом, ось \(y = 0\) является горизонтальной асимптотой на обоих бесконечностях.

7. Построение графика

Теперь у нас есть вся необходимая информация для построения графика:

• Область определения: \(x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)\);
• Точки экстремума: максимум при \(x = -3\);
• Вогнутость/выпуклость: точка перегиба \(x = -4\);
• Асимптоты: вертикальная при \(x = 0\) и горизонтальная \(y = 0\).

Наконец, можем построить график функции.