Хорошо! Давайте решим задачу. Начнем с определения предмета и раздела, а затем проведем исследование функции.
Предмет: Математика.
Раздел: Математический анализ (в частности, дифференциальное исчисление).
Нам дана функция: \[ y = \frac{4x^3 + 5}{x}. \]
Этап 1. Найдем область определения функции (ОДЗ):
Поскольку знаменатель \( x \) не может быть равен нулю (иначе дробь не определена), область определения функции: \[ x \neq 0, \quad x \in \mathbb{R}. \]
То есть, \( x \) может быть любым числом, кроме \( 0 \). Следовательно: \[ \text{ОДЗ: } x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty). \]
Этап 2. Упростим функцию:
Поскольку у нас дробь, можно разделить числа в числителе на знаменатель: \[ y = \frac{4x^3}{x} + \frac{5}{x}. \]
Упростим выражение: \[ y = 4x^2 + \frac{5}{x}. \]
Этап 3. Найдем первую производную \( y'(x) \):
Производную функции найдем по правилу: \[ \text{Производная суммы: } (u+v)' = u' + v'. \]
- Первая часть \( 4x^2 \): \[ \frac{d}{dx}[4x^2] = 8x. \]
- Вторая часть \( \frac{5}{x} \): Запишем \( \frac{5}{x} \) как \( 5x^{-1} \), и используем правило \( \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \):
\[ \frac{d}{dx}[5x^{-1}] = 5(-1)x^{-2} = -\frac{5}{x^2}. \]
Теперь сложим производные: \[ y'(x) = 8x - \frac{5}{x^2}. \]
Этап 4. Найдем критические точки функции:
Критические точки возникают, если \( y'(x) = 0 \) или \( y'(x) \) не определена.
- Для \( y'(x) = 0 \):
\[ 8x - \frac{5}{x^2} = 0. \] Перенесем \( \frac{5}{x^2} \) в правую часть: \[ 8x = \frac{5}{x^2}. \]
Умножим обе части на \( x^2 \) (учитываем, что \( x \neq 0 \)):
\[ 8x^3 = 5. \]
Получим: \[ x^3 = \frac{5}{8}. \]
Извлекаем кубический корень: \[ x = \sqrt[3]{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2}. \]
- Для \( y'(x) \) не определена: \( y'(x) \) не определена в точках, где \( x = 0 \). Но \( x = 0 \) не входит в область определения функции, поэтому это не критическая точка.
Итак, единственная критическая точка: \[ x = \frac{\sqrt[3]{5}}{2}. \]
Этап 5. Вторую производную мы не ищем (по условию задания).
Этап 6. Исследуем поведение функции:
- Асимптоты:
- Горизонтальная асимптота: Для \( |x| \to +\infty \), старшие члены функции имеют вид \( y \sim 4x^2 \), следовательно, горизонтальной асимптоты нет.
- Вертикальная асимптота: При \( x \to 0^+ \) или \( x \to 0^- \) \( y \to \infty \) или \( y \to -\infty \). Значит, вертикальная асимптота: \( x = 0 \).
- Возрастание и убывание: Знак первой производной \( y'(x) = 8x - \frac{5}{x^2} \):
- Найдем знак в интервалах: \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty). \) Исследуем, подставляем числа…
К сожалению, вы не предоставили текст. Если вы предоставите текст, я преобразую его из markdown в HTML, следуя вашим инструкциям. Пожалуйста, добавьте текст для обработки!