Исследовать функцию на экстремумы и определить интервалы возрастания/убывания функции

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций

Необходимо исследовать функцию на экстремумы и определить интервалы возрастания и убывания для функции:
y = 5x^2 + x^3.

Шаг 1. Найдем производную функции

Для определения экстремумов и интервалов возрастания/убывания функции необходимо найти её первую производную: y' = \frac{d}{dx}(5x^2 + x^3) = 10x + 3x^2.

Шаг 2. Найдем критические точки

Критические точки находятся из уравнения y' = 0: 10x + 3x^2 = 0.
Вынесем x за скобки: x(10 + 3x) = 0.
Решим уравнение:

1. x = 0,
2. 10 + 3x = 0 \Rightarrow x = -\frac{10}{3}.

Критические точки: x = 0 и x = -\frac{10}{3}.

Шаг 3. Определим знаки производной на интервалах

Разделим числовую ось на интервалы, исходя из критических точек:
-\infty < x < -\frac{10}{3}, \, -\frac{10}{3} < x < 0, \, 0 < x < \infty.

Подставим тестовые точки из каждого интервала в производную y' = 10x + 3x^2:

1. На интервале -\infty < x < -\frac{10}{3}, возьмем x = -4:
   y' = 10(-4) + 3(-4)^2 = -40 + 48 = 8 > 0.
   Здесь y' > 0, функция возрастает.

2. На интервале -\frac{10}{3} < x < 0, возьмем x = -1:
   y' = 10(-1) + 3(-1)^2 = -10 + 3 = -7 < 0.
   Здесь y' < 0, функция убывает.

3. На интервале 0 < x < \infty, возьмем x = 1:
   y' = 10(1) + 3(1)^2 = 10 + 3 = 13 > 0.
   Здесь y' > 0, функция возрастает.

Шаг 4. Найдем экстремумы

Функция имеет экстремумы в критических точках, где производная меняет знак:

1. В точке x = -\frac{10}{3}:
   Производная меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.
   Значение функции:
   y\left(-\frac{10}{3}\right) = 5\left(-\frac{10}{3}\right)^2 + \left(-\frac{10}{3}\right)^3 = 5\cdot\frac{100}{9} - \frac{1000}{27} = \frac{500}{9} - \frac{1000}{27} = \frac{1500}{27} - \frac{1000}{27} = \frac{500}{27}.
   Максимум: \left(-\frac{10}{3}, \frac{500}{27}\right).

2. В точке x = 0:
   Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.
   Значение функции: y(0) = 5(0)^2 + (0)^3 = 0.
   Минимум: (0, 0).

Шаг 5. Интервалы возрастания и убывания

1. Функция возрастает на интервалах: \left(-\infty, -\frac{10}{3}\right) и (0, +\infty).
2. Функция убывает на интервале: \left(-\frac{10}{3}, 0\right).

Ответ:

1. Экстремумы:
   • Максимум: \left(-\frac{10}{3}, \frac{500}{27}\right),
   • Минимум: (0, 0).
2. Интервалы возрастания: \left(-\infty, -\frac{10}{3}\right) и (0, +\infty).
3. Интервал убывания: \left(-\frac{10}{3}, 0\right).