Исследовать числовой ряд на сходимость с помощью признака Даламбера

Этот вопрос принадлежит курсу математики, а именно разделу математического анализа, который изучает ряды.

Мы будем использовать признак Даламбера (или отношение) для исследования сходимости данного ряда. Рассмотрим числовой ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)!}{3^n} \]

Признак Даламбера утверждает, что для проверки сходимости ряда \(\sum a_n\) нужно вычислить предел последовательности отношений \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\):

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

Если \(L < 1\), ряд сходится. Если \(L > 1\), ряд расходится. Если \(L = 1\), то признак не дает ответа о сходимости ряда.

В нашем случае, \(a_n = \frac{(n+1)!}{3^n}\). Рассчитаем \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\):

\[ a_{n+1} = \frac{(n+2)!}{3^{n+1}} \]

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+2)!}{3^{n+1}}}{\frac{(n+1)!}{3^n}} = \frac{(n+2)! \cdot 3^n}{(n+1)! \cdot 3 \cdot 3^n} \]

Сократим факториалы и степени числа 3:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+2)(n+1)! \cdot 3^n}{(n+1)! \cdot 3 \cdot 3^n} = \frac{(n+2)}{3} \]

Теперь вычислим предел:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+2}{3} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3} + \frac{2}{3} = \infty \]

Поскольку \( L = \infty > 1 \), ряд расходится по признаку Даламбера.