Исследование функций на экстремумы (нахождение точки максимума функции)

Определение предмета и раздела

Предмет: Математический анализ
Раздел: Исследование функций на экстремумы (нахождение точки максимума функции)

Решение задачи №10

Дана функция:
 f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 
Требуется найти точку максимума данной функции.

Шаг 1: Определение стационарных точек

Стационарные точки находятся из условия, что частные производные функции равны нулю.

Находим частные производные

Частная производная по x:
 \frac{\partial f}{\partial x} = -2x 

Частная производная по y:
 \frac{\partial f}{\partial y} = -2y 

Решаем систему уравнений

Приравниваем частные производные к нулю:
 -2x = 0 \Rightarrow x = 0 
 -2y = 0 \Rightarrow y = 0 

Следовательно, стационарная точка:
 (0, 0) 

Шаг 2: Определение типа стационарной точки (максимум, минимум или седловая точка)

Для этого вычисляем вторые частные производные и составляем матрицу Гессе (матрицу вторых производных).

Вторые частные производные

 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2 
 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2 
 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0 

Определитель матрицы Гессе

Матрица Гессе:
 H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \ 0 & -2 \end{bmatrix} 

Определитель матрицы Гессе:
 D = (-2) \cdot (-2) - (0) \cdot (0) = 4 > 0 

Так как  D > 0  и  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0 , то функция достигает локального максимума в точке  (0,0) .

Шаг 3: Вычисление значения функции в точке максимума

Подставляем  x = 0  и  y = 0  в функцию:
 f(0, 0) = 4 - 0^2 - 0^2 = 4 

Ответ:

Функция  f(x, y) = 4 - x^2 - y^2  достигает максимума в точке  (0,0) , и значение максимума равно 4.