Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Эластичность функции в точке \( x = x_0 \) определяется следующим образом: \[ E(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x \] Это отношение скорости изменения функции \( f(x) \) к значению самой функции, умноженное на аргумент \( x \). Дана функция: \[ f(x) = \frac{x^5}{e^{3x} \sin{\left( \frac{\pi x}{4} \right) }} \]
Используем правило дифференцирования частного: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] В нашем случае: \[ u(x) = x^5, \quad v(x) = e^{3x} \sin{\left( \frac{\pi x}{4} \right)} \] Найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \): \[ u'(x) = 5x^4 \] \( v(x) = e^{3x} \cdot \sin{\left( \frac{\pi x}{4} \right)} \). Производная произведения функций: \[ v'(x) = e^{3x} \cdot \sin{\left( \frac{\pi x}{4} \right)} \cdot \frac{d}{dx} \left( 3x \right) + e^{3x} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sin{\frac{\pi x}{4}} \right) \] Дифференцируем каждую составляющую: \[ v'(x) = e^{3x} \cdot 3 \cdot \sin{\left( \frac{\pi x}{4} \right) } + e^{3x} \cdot \cos{\left( \frac{\pi x}{4} \right)} \cdot \frac{\pi}{4} \]
\[ f'(x) = \frac{5x^4 \cdot e^{3x} \cdot \sin{\left( \frac{\pi x}{4} \right)} - x^5 \cdot \left( 3e^{3x} \cdot \sin{\left( \frac{\pi x}{4} \right)} + e^{3x} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \cos{\left( \frac{\pi x}{4} \right)} \right)}{ \left( e^{3x} \cdot \sin{\left( \frac{\pi x}{4} \right)} \right)^2 } \]
Для упрощения расчетов считаем значение в \( x = 1 \): 1. Считаем функцию \( f(1) \): \[ f(1) = \frac{1^5}{e^{3 \cdot 1} \cdot \sin{\left( \frac{\pi \cdot 1}{4} \right)} } = \frac{1}{e^3 \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{4} \right)} } \] Так как \( \sin{\left( \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то: \[ f(1) = \frac{1}{e^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{e^3 \sqrt{2}} \] Теперь находим производную \( f'(1) \) и подставляем в формулу для эластичности: \[ E(1) = \frac{f'(1)}{f(1)} \cdot 1 \]