Используя метод Даламбера, найти решение задачи Коши для волнового уравнения

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Частные производные".

Используя метод Даламбера для решения задачи Коши волнового уравнения \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \] с начальными условиями \[ u(x,0) = 8 \sin(4\pi x), \quad \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 8\pi \sin(4\pi x), \] проведем следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме волнового уравнения: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. \] Здесь \( c = 2 \), так как \( 4 = 2^2 \).
2. Общее решение волнового уравнения методом Даламбера имеет вид: \[ u(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct), \] где \( f \) и \( g \) – произвольные функции, определяемые начальными условиями.
3. Используем первое начальное условие \( u(x,0) = 8 \sin(4\pi x) \): \[ 8 \sin(4\pi x) = f(x) + g(x). \]
4. Используем второе начальное условие \( \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = 8\pi \sin(4\pi x) \). Вычислим частную производную \[ \frac{\partial u}{\partial t} = -c f'(x - ct) + c g'(x + ct), \]\[ \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = -2 f'(x) + 2 g'(x). \] Подставляем начальные условия: \[ 8\pi \sin(4\pi x) = -2 f'(x) + 2 g'(x). \]
5. Чтобы решить систему уравнений: \[ f(x) + g(x) = 8 \sin(4\pi x), \]\[ -2 f'(x) + 2 g'(x) = 8\pi \sin(4\pi x), \] перепишем её в удобной для нас форме: \[ f(x) + g(x) = 8 \sin(4\pi x), \]\[ -f'(x) + g'(x) = 4\pi \sin(4\pi x). \]
6. Решение уравнений заключается в нахождении функций \( f \) и \( g \). Интегрируем второе уравнение: \[ \int (-f'(x) + g'(x))\, dx = \int 4\pi \sin(4\pi x)\, dx, \]\[ -f(x) + g(x) = -\cos(4\pi x) + C, \] где \( C \) – константа интегрирования. Теперь у нас есть система уравнений: \[ f(x) + g(x) = 8 \sin(4\pi x), \]\[ -f(x) + g(x) = -cos(4\pi x) + C. \]
7. Для нахождения \( f(x) \): \[ 2g(x) = 8 \sin(4\pi x) + \cos(4\pi x) - C, \]\[ g(x) = 4 \sin(4\pi x) + \frac{1}{2} \cos(4\pi x) - \frac{C}{2}. \] Для нахождения \( f(x) \): \[ 2f(x) = 8 \sin(4\pi x) - (8 \sin(4\pi x) + \cos(4\pi x) - C), \]\[ f(x) = \frac{1}{2} \cos(4\pi x) + \frac{C}{2}. \]
8. Подставляем найденные функции \( f \) и \( g \) в общее решение: \[ u(x,t) = f(x - 2t) + g(x + 2t), \]\[ u(x,t) = \left( \frac{1}{2} \cos(4\pi (x - 2t)) + \frac{C}{2} \right) + \left( 4 \sin(4\pi (x + 2t)) + \frac{1}{2} \cos(4\pi (x + 2t)) - \frac{C}{2} \right). \] Соберем все вместе и упростим: \[ u(x,t) = 4 \sin(4\pi (x + 2t)) + \frac{1}{2} \cos(4\pi (x - 2t)) + \frac{1/2} \cos(4\pi (x + 2t)), \]\[ u(x,t) = 4 \sin(4\pi x + 8\pi t) + \cos(4\pi x) \cos(8\pi t). \]
9. Таким образом, решение задачи Коши для данного волнового уравнения имеет вид: \[ u(x, t) = 4 \sin(4\pi x + 8\pi t) + \cos(4\pi x) \cos(8\pi t). \] Проверка оставлена для самопроверки (входит в задание, но не указана здесь для краткости).