Использование правила Лопиталя для нахождения предела функции

Этот пример относится к предмету математического анализа, а именно к разделу пределов и непрерывности, и предполагает использование правила Лопиталя для нахождения предела функции.

Правило Лопиталя утверждает, что если функции $\text{(}f(x)\text{)}$ и $\text{(}g(x)\text{)}$ дифференцируемы и стремятся к 0 или ±∞ при $\text{(}x\to c\text{)}$, то $\text{[}\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\text{]}$ при условии, что предел справа существует или является ±∞.

Рассмотрим данный предел: $\text{[}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x{e}^x-5x}{4x^2+7x}\text{]}$

1. Проверим, подходит ли правило Лопиталя:
   • При $\text{(}x\to 0\text{)}$:
     • Числитель: $\text{(}\sin x{e}^x-5x\to 0-0=0\text{)}$
     • Знаменатель: $\text{(}4x^2+7x\to 0+0=0\text{)}$
   • Следовательно, доля имеет форму $\text{(}\frac{0}{0}\text{)}$, и мы можем применить правило Лопиталя.
2. Найдем производные числителя и знаменателя:
   • Произведение $\text{(}(\sin x{e}^x{)}^{\prime }=(\sin x{)}^{\prime }{e}^x+\sin x(e^x{)}^{\prime }=\cos x{e}^x+\sin x{e}^x=e^x(\cos x+\sin x)\text{)}$
   • Производная $\text{(}-5x\text{)}:\text{(}-5\text{)}$
   • Таким образом, числитель: $\text{(}(\sin x{e}^x-5x{)}^{\prime }=e^x(\cos x+\sin x)-5\text{)}$
   • Знаменатель: $\text{(}(4x^2+7x{)}^{\prime }=8x+7\text{)}$
3. Применяем предел к новым функциям: $\text{[}\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x(\cos x+\sin x)-5}{8x+7}\text{]}$
4. Подставляем предел $\text{(}x\to 0\text{)}$:
   • $\text{(}{e}^0(\cos 0+\sin 0)-5=1\cdot (1+0)-5=1-5=-4\text{)}$
   • $\text{(}8\cdot 0+7=7\text{)}$
   Таким образом, предел равен: $\text{[}\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x(\cos x+\sin x)-5}{8x+7}=\frac{-4}{7}=-\frac{4}{7}\text{]}$

Правильный вариант ответа: $\text{(}-\frac{4}{7}\text{)}$