Использование правила Лопиталя для нахождения предела функции

Этот пример относится к предмету математического анализа, а именно к разделу пределов и непрерывности, и предполагает использование правила Лопиталя для нахождения предела функции.

Правило Лопиталя утверждает, что если функции \( f(x) \) и \( g(x) \) дифференцируемы и стремятся к 0 или ±∞ при \( x \rightarrow c \), то \[ \lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \] при условии, что предел справа существует или является ±∞.

Рассмотрим данный предел: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x e^x - 5x}{4x^2 + 7x} \]

1. Проверим, подходит ли правило Лопиталя:
   • При \( x \rightarrow 0 \):
     • Числитель: \(\sin x e^x - 5x \rightarrow 0 - 0 = 0\)
     • Знаменатель: \(4x^2 + 7x \rightarrow 0 + 0 = 0\)
   • Следовательно, доля имеет форму \( \frac{0}{0} \), и мы можем применить правило Лопиталя.
2. Найдем производные числителя и знаменателя:
   • Произведение \( (\sin x e^x)' = (\sin x)' e^x + \sin x (e^x)' = \cos x e^x + \sin x e^x = e^x (\cos x + \sin x) \)
   • Производная \(- 5x\): \(- 5\)
   • Таким образом, числитель: \( (\sin x e^x - 5x)' = e^x (\cos x + \sin x) - 5 \)
   • Знаменатель: \( (4x^2 + 7x)' = 8x + 7 \)
3. Применяем предел к новым функциям: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{e^x (\cos x + \sin x) - 5}{8x + 7} \]
4. Подставляем предел \( x \to 0 \):
   • \( e^0 (\cos 0 + \sin 0) - 5 = 1 \cdot (1 + 0) - 5 = 1 - 5 = -4 \)
   • \( 8 \cdot 0 + 7 = 7 \)
   Таким образом, предел равен: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{e^x (\cos x + \sin x) - 5}{8x + 7} = \frac{-4}{7} = -\frac{4}{7} \]

Правильный вариант ответа: \(-\frac{4}{7}\)