Использование правила Лопиталя для нахождения предела функции

Условие:

Условие: Выбери правильный вариант

Решение:

Этот пример относится к предмету математического анализа, а именно к разделу пределов и непрерывности, и предполагает использование правила Лопиталя для нахождения предела функции.

Правило Лопиталя утверждает, что если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируемы и стремятся к 0 или ±∞ при \(xc\), то \[limxcf(x)g(x)=limxcf(x)g(x)\] при условии, что предел справа существует или является ±∞.

Рассмотрим данный предел: \[limx0sinxex5x4x2+7x\]

  1. Проверим, подходит ли правило Лопиталя:
    • При \(x0\):
      • Числитель: \(sinxex5x00=0\)
      • Знаменатель: \(4x2+7x0+0=0\)
    • Следовательно, доля имеет форму \(00\), и мы можем применить правило Лопиталя.
  2. Найдем производные числителя и знаменателя:
    • Произведение \((sinxex)=(sinx)ex+sinx(ex)=cosxex+sinxex=ex(cosx+sinx)\)
    • Производная \(5x\):\(5\)
    • Таким образом, числитель: \((sinxex5x)=ex(cosx+sinx)5\)
    • Знаменатель: \((4x2+7x)=8x+7\)
  3. Применяем предел к новым функциям: \[limx0ex(cosx+sinx)58x+7\]
  4. Подставляем предел \(x0\):
    • \(e0(cos0+sin0)5=1(1+0)5=15=4\)
    • \(80+7=7\)
    Таким образом, предел равен: \[limx0ex(cosx+sinx)58x+7=47=47\]

Правильный вариант ответа: \(47\)

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут