Интегрирование с заменой переменных

Этот вопрос относится к разделу математики, а именно к интегральному исчислению.

В данном случае речь идет об интегрировании с заменой переменных. Рассмотрим подробнее данное выражение: \[ \int f(x) \, dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt \] при \( x = \varphi(t) \). Эта формула является результатом использования метода замены переменных в определенном интеграле (более известного как метод подстановки). В данном случае это один из способов упростить интегрирование функции.

Порядок действий для использования формулы заменой переменных:

1. Выбор подстановки: выберем новую переменную \( t \) и выразим старую переменную \( x \) через \( t \) в виде \( x = \varphi(t) \).
2. Нахождение производной: найдем производную функции подстановки \( \varphi(t) \), обозначенную как \( \varphi'(t) \).
3. Замена переменных в интеграле: заменяем \( x \) на \( \varphi(t) \), а также \( dx \) на \( \varphi'(t) \, dt \).

Теперь, вернемся к формулировке задания: При \( x = \varphi(t) \), \[ \int f(x) \, dx \] становится \[ \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt. \] Таким образом, это формула замены переменной в определенном интеграле.