Функция y(x) задана неявно уравнением ниже и условием y(1)=2. Найдите y'(1)

Предмет: Математика (математический анализ).

Раздел: Дифференцирование неявных функций.

Задано уравнение: y^3 - 3xy - 2 = 0 и условие y(1) = 2, нужно найти y'(1).

1. Дифференцируем неявную функцию.

Дифференцируем обе части уравнения по переменной x, применяя правило дифференцирования сложных функций и правила дифференцирования произведений.

1. Производная от y^3 по x: \frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 3y^2y'
2. Производная от -3xy по x (применяем правило произведения): \frac{d}{dx}(-3xy) = -3(x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{d}{dx}(x)) = -3(xy' + y)
3. Производная от -2 по x: \frac{d}{dx}(-2) = 0

Итак, у нас получается следующее уравнение: 3y^2y' - 3(xy' + y) = 0

2. Преобразуем уравнение.

Раскроем скобки: 3y^2y' - 3xy' - 3y = 0

Теперь вынесем общий множитель 3: 3(y^2y' - xy' - y) = 0

Разделим обе стороны на 3: y^2y' - xy' - y = 0

3. Найдём выражение для y'.

Вынесем y' за скобки: y'(y^2 - x) = y

4. Подставим x = 1 и y(1) = 2.

Теперь нам нужно найти y'(1). Для этого подставим x = 1 и y(1) = 2 в наше выражение для производной: y'(1) = \frac{2}{2^2 - 1} = \frac{2}{4 - 1} = \frac{2}{3}

Ответ: y'(1) = \frac{2}{3}