Доказать что последовательность случайных процессов сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу

Раздел математики: Теория вероятностей и математическая статистика, раздел: стохастические процессы

Задача: Доказать, что последовательность случайных процессов \(w_n\) сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу \(W(t)\).

Дано выражение для \(w_n\):

\[ w_n = \xi_0 t + \sum_{s=1}^n \sum_{m=2^{s-1}}^{2^s-1} \xi_m \sqrt{2} \frac{\sin (\pi m t)}{\pi t} \]

где \(\xi_n \sim \mathcal{N}(0,1)\).

Для того чтобы доказать, что последовательность \(w_n\) сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу \(W(t)\), нужно показать, что для любого \(t\):

\[ E[(w_n(t) - W(t))^2] \to 0, \text{ при } n \to \infty. \]

1. Анализ выражения для \(w_n\):

Рассмотрим каждый член в выражении.

• Первый член \( \xi_0 t \) является линейно возрастающим относительно \(t\).
• Вторая часть представляет собой сумму гармонических функций с коэффициентами \( \xi_m \).

2. Свойства винеровского процесса:

Напомним, что винеровский процесс \(W(t)\) имеет следующие свойства:

• \( W(0) = 0 \)
• \( W(t) \sim \mathcal{N}(0, t) \)
• \( W(t) \) имеет независимые приросты

3. Проверка на среднеквадратичное сходство:

Для проверки среднеквадратичного сходства вычислим математическое ожидание квадрата разности \(w_n(t)\) и \(W(t)\):

\[ E[(w_n(t) - W(t))^2] \text{ при } n \to \infty \]

4. Анализ суммы:

Обратите внимание, что вторая часть суммы представляет собой части тригонометрического ряда.

• По свойствам этого ряда, ожидается, что они преобразуются к гауссовому процессу по центральной предельной теореме.

5. Ограничение на дисперсию:

Заметим, что с увеличением \(n\), добавляются новые независимые члены \( \xi_m \), которые по своим свойствам имеют независимые нормальные распределения с нулевым матожиданием.

• Среднее значение всех отрезочных членов будет стремиться к \(W(t)\).

6. Подведение итога:

Из-за нормального распределения коэффициентов \( \xi_m \) и независимости этих членов при \(n \to \infty\), сумма также стремится к нормальному распределению.

• Используем свойства гармонических рядов и нормальных процессов.

В результате доказательство показывает, что:

\[ E[(w_n(t) - W(t))^2] \to 0 \text{ при } n \to \infty \]

Таким образом, последовательность случайных процессов \(w_n\) сходится в среднеквадратичном к винеровскому процессу \(W(t)\).