Доказать, что нулевое решение системы является асимптотически устойчивым

Предмет: Дифференциальные уравнения, курс по устойчивости динамических систем Тема: Асимптотическая устойчивость, функция Ляпунова

Задание: Необходимо доказать, что нулевое решение системы \[ \frac{dx}{dt} = -ay - x^3 \quad \equiv P(x, y) \] \[ \frac{dy}{dt} = bx - y^3 \quad \equiv Q(x, y) \] где \( a, b \) — ненулевые постоянные одного знака, является асимптотически устойчивым.

Шаги решения:

1. Выбор функции Ляпунова

Нам подсказывают, что можно выбрать функцию Ляпунова в виде: \[ v(x, y) = \frac{1}{2} \left( b x^2 + a y^2 \right) \] Это хорошая кандидатуальная функция Ляпунова, так как она является квадратичной, определяется положительно на всех траекториях, и равна нулю только в точке \( (x, y) = (0, 0) \).

2. Вычисление производной функции Ляпунова по времени

По определению функции Ляпунова производную \( v(x, y) \) по времени вычисляем вдоль траекторий системы с помощью следующей формулы: \[ \dot{v}(x, y) = \frac{\partial v}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \]

3. Вычисления частных производных функции Ляпунова

Для функции \( v(x, y) = \frac{1}{2}(b x^2 + a y^2) \) находим частные производные: \[ \frac{\partial v}{\partial x} = b x \] \[ \frac{\partial v}{\partial y} = a y \]

4. Подстановка в формулу производной \( \dot{v}(x, y) \)

Теперь подставим в выражение: \[ \dot{v}(x, y) = \left( b x \right) \cdot \left( -ay - x^3 \right) + \left( a y \right) \cdot \left( bx - y^3 \right) \] Раскроем скобки: \[ \dot{v}(x, y) = -abxy - b x^4 + abxy - a y^4 \] В результате заметим, что члены с \( abxy \) взаимно уничтожаются: \[ \dot{v}(x, y) = -b x^4 - a y^4 \]

5. Анализ знака производной функции Ляпунова

Производная \( \dot{v}(x, y) = -b x^4 - a y^4 \) всегда отрицательна (или равна нулю только в точке \( (x, y) = (0, 0) \))), так как \( b \) и \( a \) имеют одинаковый знак и положительны по условию задачи, а \( x^4 \) и \( y^4 \) — это всегда положительные величины для любых \( x \) и \( y \), кроме нуля. Это означает, что: \[ \dot{v}(x, y) \leq 0 \] с равенством только в точке \( (x, y) = (0, 0) \).

6. Вывод: Асимптотическая устойчивость

Ответ: Нулевое решение данной системы является асимптотически устойчивым.