Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Задача: Для каждой функции \( y = \varphi(x, C) \) выяснить, является ли она решением дифференциального уравнения (ДТ). Рассмотрим вариант 1.9:
\[ y = x^3e^x - C \]
\[ (x^3 - 1)y' + 3x^2e^x = 0 \]
Для начала нужно сделать первую производную функции \( y = x^3e^x - C \). Применим правило произведения для дифференцирования:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3e^x - C) = \frac{d}{dx}(x^3e^x) - \frac{d}{dx}(C) \]
Второе слагаемое — это константа \( C \), поэтому её производная равна нулю. Теперь найдём производную первого слагаемого \( x^3e^x \). Применим правило произведения:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3)e^x + x^3 \frac{d}{dx}(e^x) = 3x^2e^x + x^3e^x \]
Таким образом, производная \( y \) будет:
\[ y' = 3x^2e^x + x^3e^x \]
Подставляем производную \( y' \) и само \( y \) в дифференциальное уравнение:
\[ (x^3 - 1)y' + 3x^2e^x = 0 \]
Заменим \( y' \) на найденное выражение:
\[ (x^3 - 1)(3x^2e^x + x^3e^x) + 3x^2e^x = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ (x^3 - 1)(3x^2e^x) + (x^3 - 1)(x^3e^x) + 3x^2e^x = 0 \]
Перемножаем:
\[ 3x^5e^x - 3x^2e^x + x^6e^x - x^3e^x + 3x^2e^x = 0 \]
Преобразуем:
\[ 3x^5e^x + x^6e^x - x^3e^x = 0 \]
Вынесем общий множитель \( e^x \) за скобки:
\[ e^x(3x^5 + x^6 - x^3) = 0 \]
Так как экспонента \( e^x \) никогда не равна нулю, приравняем выражение в скобках к нулю:
\[ 3x^5 + x^6 - x^3 = 0 \]
Вынесем \( x^3 \) за скобки:
\[ x^3(x^3 + 3x^2 - 1) = 0 \]
Это уравнение будет равно нулю, если \( x^3 = 0 \), то есть \( x = 0 \), или если выражение в скобках равно нулю:
\[ x^3 + 3x^2 - 1 = 0 \]
Таким образом, функция \( y = x^3e^x - C \) является решением дифференциального уравнения для некоторых значений \( x \), и в частности для \( x = 0 \).
Функция в 1.9 является решением данного дифференциального уравнения