Для функции f(x) из столбца 1 укажите её первообразную F(x) из столбца 2

Предмет: Математика Раздел: Интегралы и первообразные

Для функции \( f(x) \), данной в столбце 1, нужно найти первообразную \( F(x) \) из столбца 2.

Функция в столбце 1: \[ f(x) = \frac{2}{\sin^2\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)} \]

Свяжем это с известной тригонометрической функцией, чтобы найти первообразную:

Шаг 1: Преобразуем выражение

Используя тригонометрическую идентичность: \[ \frac{1}{\sin^2 u} = \csc^2 u \]

Где \( u = 4x - \frac{\pi}{3} \). Таким образом, функция \( f(x) \) принимает вид: \[ f(x) = 2 \csc^2 \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \]

Шаг 2: Найдем первообразную

Теперь вспомним стандартную первообразную для функции \( \csc^2 u \): \[ \int \csc^2 u \, du = -\cot u + C \]

Поскольку у нас \( 2 \csc^2 u \), первообразная будет: \[ F(u) = -2 \cot u + C \]

Шаг 3: Учитываем произведение на внутреннюю функцию

Нужно проиндексировать \( u = 4x - \frac{\pi}{3} \): \[ \frac{d}{dx}\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 4 \]

Значит, учитывая эту производную, добавляем деление на 4: \[ F(x) = \int 2 \csc^2 \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \, dx = \int 2 \csc^2 u \cdot \frac{1}{4} \, du = \frac{-2}{4} \cot \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) + C \]

Упростив, \[ F(x) = -\frac{1}{2} \cdot 4 \cot \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) + C = - \cot \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot 2 + C \]

Таким образом, мы получаем: \[ F(x) = -8 \cdot \cot \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) + C \]

Определяем правильное выражение

Рассматривая предложенные варианты в столбце 2, правильным является вариант: \[ F(x) = 8 \cot \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) + C \]

Ответ: Вариант а):

\[ F(x) = 8 \cot \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) + C \]