Для функции f(x) из столбца 1 укажите её первообразную F(x) из столбца 2

Предмет: Математика Раздел: Интегралы и первообразные

Для функции $\text{(}f(x)\text{)}$, данной в столбце 1, нужно найти первообразную $\text{(}F(x)\text{)}$ из столбца 2.

Функция в столбце 1: $\text{[}f(x)=\frac{2}{{\sin }^2(4x-\frac{\pi }{3})}\text{]}$

Свяжем это с известной тригонометрической функцией, чтобы найти первообразную:

Шаг 1: Преобразуем выражение

Используя тригонометрическую идентичность: $\text{[}\frac{1}{{\sin }^{2}u}={\csc }^{2}u\text{]}$

Где $\text{(}u=4x-\frac{\pi }{3}\text{)}$. Таким образом, функция $\text{(}f(x)\text{)}$ принимает вид: $\text{[}f(x)=2{\csc }^2(4x-\frac{\pi }{3})\text{]}$

Шаг 2: Найдем первообразную

Теперь вспомним стандартную первообразную для функции $\text{(}{\csc }^{2}u\text{)}$: $\text{[}\int {\csc }^{2}udu=-\cot u+C\text{]}$

Поскольку у нас $\text{(}2{\csc }^{2}u\text{)}$, первообразная будет: $\text{[}F(u)=-2\cot u+C\text{]}$

Шаг 3: Учитываем произведение на внутреннюю функцию

Нужно проиндексировать $\text{(}u=4x-\frac{\pi }{3}\text{)}$: $\text{[}\frac{d}{dx}(4x-\frac{\pi }{3})=4\text{]}$

Значит, учитывая эту производную, добавляем деление на 4: $\text{[}F(x)=\int 2{\csc }^2(4x-\frac{\pi }{3})dx=\int 2{\csc }^{2}u\cdot \frac{1}{4}du=\frac{-2}{4}\cot (4x-\frac{\pi }{3})+C\text{]}$

Упростив, $\text{[}F(x)=-\frac{1}{2}\cdot 4\cot (4x-\frac{\pi }{3})+C=-\cot (4x-\frac{\pi }{3})\cdot 2+C\text{]}$

Таким образом, мы получаем: $\text{[}F(x)=-8\cdot \cot (4x-\frac{\pi }{3})+C\text{]}$

Определяем правильное выражение

Рассматривая предложенные варианты в столбце 2, правильным является вариант: $\text{[}F(x)=8\cot (4x-\frac{\pi }{3})+C\text{]}$

Ответ: Вариант а):

$\text{[}F(x)=8\cot (4x-\frac{\pi }{3})+C\text{]}$