Условие:
Для частного решения дифференциального уравнения xy''=(y')^2 , удовлетворяющего начальным условия y(2)=7.5 , y'(2)=4, найти значение y''(2)
Решение:
Конечно! Давайте по шагам разберем данное дифференциальное уравнение и найдем значение \( y''(2) \).
- Определение предмета и раздела:
- Предмет: Математика
- Раздел предмета: Дифференциальные уравнения
- Записанное уравнение:
\[ xy'' = (y')^2 \]
С начальными условиями \( y(2) = 7.5 \) и \( y'(2) = 4 \).
- Преобразуем уравнение:
Чтобы решить уравнение, разделим обе стороны на \( x \):
\[ y'' = \frac{(y')^2}{x} \]
- Обозначим производные:
Пусть \( y' = p \). Тогда \( y'' = p' \).
- Подставим обозначения в уравнение:
\[ p' = \frac{p^2}{x} \]
- Для учета начальных условий оставим уравнение в таком виде и попробуем выразить \( p' \) через начальные условия:
Начальные условия: \( y(2) = 7.5 \) и \( p(2) = 4 \).
- Найдём производную \( p' \) в точке \( x = 2 \):
Подставим \( x = 2 \) и \( p(2) = 4 \) в уравнение
\[ p' = \frac{p^2}{x} \]
Получим:
\[ p'(2) = \frac{16}{2} = 8 \]
Таким образом, значение \(\boxed{8}\).