Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Предмет: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Раздел: Частные производные, градиенты и касательные плоскости.

Задание: Рассмотрим вариант 4.9.

Функция: \( z = \dfrac{y}{\sqrt{x}} \).

Вектор направления: \(\vec{a} = (1; 1)\).

Точка \(M_0(x_0, y_0) = (4; 9)\).

Часть 1: Найти производную функции \(z = f(x, y)\) в точке \(M_0(4, 9)\) по направлению вектора \(\vec{a} = (1, 1)\).

Для этого сначала найдем градиент функции \(z = f(x, y)\).

1. Найдем частные производные функции \(z\) по \(x\) и \(y\):
   • Частная производная по \(x\): \[ z_x = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{y}{\sqrt{x}} \right) = \dfrac{y}{2} \cdot x^{-3/2} = \dfrac{y}{2\sqrt{x^3}}. \]
   • Частная производная по \(y\): \[ z_y = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{y}{\sqrt{x}} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}. \]
2. Градиент \(\nabla z\) в точке \(M_0(4; 9)\):
   • Подставляем \(x = 4\) и \(y = 9\) в частные производные: \[ z_x(4, 9) = \dfrac{9}{2\sqrt{4^3}} = \dfrac{9}{2 \cdot 8} = \dfrac{9}{16}, \] \[ z_y(4, 9) = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}. \]

   Таким образом, градиент в точке \(M_0(4, 9)\) равен: \[ \nabla z = \left( \dfrac{9}{16}, \dfrac{1}{2} \right). \]

3. Теперь найдем производную по направлению вектора \(\vec{a} = (1, 1)\). \[ D_{\vec{a}} z = \nabla z \cdot \vec{a} = \left( \dfrac{9}{16}, \dfrac{1}{2} \right) \cdot (1, 1). \] \[ D_{\vec{a}} z = \dfrac{9}{16} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{9}{16} + \dfrac{8/16} = \dfrac{17/16}. \]

Таким образом, производная функции \(z\) в точке \(M_0(4, 9)\) по направлению вектора \(\vec{a} = (1, 1)\) равна \(\dfrac{17/16}\).

Часть 2: Найти градиент функции в точке \(M_0(4; 9)\).

Градиент \(\nabla z\) в точке \(M_0(4, 9)\) мы уже вычислили: \[ \nabla z = \left( \dfrac{9/16}, \dfrac{1/2} \right). \]

Часть 3: Уравнение касательной плоскости в точке \(M_0\) для функции \(z = f(x, y)\).

Уравнение касательной плоскости в точке \(M_0(4, 9)\) имеет вид: \[ z - z(M_0) = z_x(x_0, y_0)(x - x_0) + z_y(x_0, y_0)(y - y_0). \]

1. \[ z(4, 9) = \dfrac{9}{\sqrt{4}} = \dfrac{9/2}. \]
2. Подставляем ранее найденные значения частных производных \(z_x(4, 9) = \dfrac{9/16}\), \(z_y(4, 9) = \dfrac{1/2}\), а также координаты точки \(M_0(4, 9)\) в уравнение плоскости: \[ z - \dfrac{9/2} = \dfrac{9/16}(x - 4) + \dfrac{1/2}(y - 9). \]

Это и есть уравнение касательной плоскости.

Часть 4: Найти уравнение нормали в точке \(M_0(4; 9)\).

Уравнение нормали имеет вид: \[ \dfrac{x - x_0}{z_x} = \dfrac{y - y_0}{z_y} = \dfrac{z - z_0}{-1}. \]

Подставляем \(M_0(4, 9)\), \(z_x = \dfrac{9/16}\), \(z_y = \dfrac{1/2}\), \(z(4, 9) = \dfrac{9/2}\): \[ \dfrac{x - 4}{\dfrac{9/16}} = \dfrac{y - 9}{\dfrac{1/2}} = \dfrac{z - \dfrac{9/2}}{-1}. \]

Полученное уравнение представляет уравнение нормали.