Дифференциальные уравнения в частных производных (уравнение колебаний струны)

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных (уравнение колебаний струны)

Решение задачи

Дано волновое уравнение:

 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 

с начальными условиями:

 u(x,0) = \frac{x}{a}, \quad \frac{\partial u(x,0)}{\partial t} = \frac{1}{x^2}. 

1. Представление решения в виде метода Д’Аламбера

Общее решение одномерного волнового уравнения имеет вид:

 u(x,t) = f(x - at) + g(x + at), 

где ( f(x) ) и ( g(x) ) — произвольные функции, определяемые начальными условиями.

2. Использование начальных условий

Подставляем ( t = 0 ):

 u(x,0) = f(x) + g(x) = \frac{x}{a}. 

А также дифференцируем по ( t ):

 \frac{\partial u}{\partial t} = f'(x - at)(-a) + g'(x + at)(a). 

При ( t = 0 ):

 -a f'(x) + a g'(x) = \frac{1}{x^2}. 

3. Решение системы уравнений

Из первого уравнения:

 f(x) + g(x) = \frac{x}{a}. 

Из второго:

 f'(x) - g'(x) = -\frac{1}{a x^2}. 

Интегрируем второе уравнение:

 f(x) - g(x) = \int -\frac{1}{a x^2} dx = \frac{1}{a x}. 

4. Нахождение функций ( f(x) ) и ( g(x) )

Решаем систему:

 \begin{cases} f(x) + g(x) = \frac{x}{a}, \ f(x) - g(x) = \frac{1}{a x}. \end{cases} 

Складываем уравнения:

 2f(x) = \frac{x}{a} + \frac{1}{a x} \Rightarrow f(x) = \frac{x}{2a} + \frac{1}{2a x}. 

Вычитаем уравнения:

 2g(x) = \frac{x}{a} - \frac{1}{a x} \Rightarrow g(x) = \frac{x}{2a} - \frac{1}{2a x}. 

5. Запись окончательного решения

 u(x,t) = f(x - at) + g(x + at). 

Подставляем найденные функции:

 u(x,t) = \left( \frac{x - at}{2a} + \frac{1}{2a (x - at)} \right) + \left( \frac{x + at}{2a} - \frac{1}{2a (x + at)} \right). 

Упрощаем:

 u(x,t) = \frac{x - at}{2a} + \frac{1}{2a (x - at)} + \frac{x + at}{2a} - \frac{1}{2a (x + at)}. 

 u(x,t) = \frac{x}{a} + \frac{1}{2a (x - at)} - \frac{1}{2a (x + at)}. 

Это и есть окончательное решение задачи.