Дифференциальные уравнения (уравнения в полных дифференциалах)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (уравнения в полных дифференциалах)

Нам дано дифференциальное уравнение:

e^x \, dx + e^y (1 - e^x) \, dy = 0

Наша цель — решить это уравнение. Начнем с анализа его структуры.

Шаг 1: Упрощение уравнения

Уравнение имеет вид:

e^x \, dx + e^y (1 - e^x) \, dy = 0

Перепишем его:

e^x \, dx + e^y \, dy - e^y e^x \, dy = 0

Сгруппируем:

e^x \, dx + e^y \, dy - e^{x+y} \, dy = 0

e^x \, dx + \left(e^y - e^{x+y} \right) \, dy = 0

Шаг 2: Проверим, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах

Уравнение имеет вид:

M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0

где:

• M(x, y) = e^x
• N(x, y) = e^y - e^{x+y}

Проверим условие полного дифференциала:

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x) = 0
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^y - e^{x+y}) = -e^{x+y}

Так как \frac{\partial M}{\partial y} \ne \frac{\partial N}{\partial x}, уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 3: Попробуем решить методом разделения переменных

Перенесем все в одну сторону:

e^x \, dx = -e^y (1 - e^x) \, dy

Разделим обе стороны на (1 - e^x):

\frac{e^x}{1 - e^x} \, dx = -e^y \, dy

Шаг 4: Интегрируем обе части

Левая часть:

Рассмотрим интеграл:

\int \frac{e^x}{1 - e^x} \, dx

Пусть u = 1 - e^x, тогда du = -e^x \, dx
Значит, e^x \, dx = -du и интеграл становится:

\int \frac{e^x}{1 - e^x} \, dx = - \int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C = -\ln|1 - e^x| + C

Правая часть:

\int -e^y \, dy = -\int e^y \, dy = -e^y + C

Шаг 5: Объединяем результат

Получаем:

-\ln|1 - e^x| = -e^y + C

Умножим обе части на -1:

\ln|1 - e^x| = e^y + C_1

где C_1 = -C, также произвольная константа.

Шаг 6: Решение в неявном виде

Можно оставить ответ в виде:

\ln|1 - e^x| - e^y = C

или выразить через экспоненту:

|1 - e^x| = e^{e^y + C} = C_1 \cdot e^{e^y}, где C_1 = e^C

Ответ:

Общее решение уравнения:

\ln|1 - e^x| - e^y = C — неявное решение.