Дифференциальные уравнения первого порядка

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение:
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет общий вид:

y' + P(x)y = Q(x)

где P(x) и Q(x) — некоторые функции от x.

Анализ уравнений:

1. (y^2 - 2xy)dx + x^2 dy = 0

   • Преобразуем к явному виду:
     \frac{dy}{dx} = \frac{2xy - y^2}{x^2}
   • Уравнение содержит y^2, значит оно нелинейное.

2. y' + 3x^2y = x

   • Представлено в виде y' + P(x)y = Q(x), где P(x) = 3x^2, Q(x) = x.
   • Это линейное уравнение.

3. y' + 2xy = xy^3

   • Можно представить как y' + 2xy - xy^3 = 0.
   • Присутствует y^3, значит уравнение нелинейное.

4. (x^2 + y^2)y' = 2xy

   • Преобразуем:
     y' = \frac{2xy}{x^2 + y^2}
   • В знаменателе присутствует y^2, значит уравнение нелинейное.

5. y' + e^x y = e^{2x}

   • Представлено в виде y' + P(x)y = Q(x), где P(x) = e^x, Q(x) = e^{2x}.
   • Это линейное уравнение.

Ответ:

Линейные уравнения: 2 и 5.