Дифференциальные уравнения и преобразования Лапласа

Это задание по математике, а точнее по разделу "Дифференциальные уравнения и преобразования Лапласа"

Требуется найти оригинал функции \( f(t) = 2t - 4 + e^{5t} \). Для этого найдем обратное преобразование Лапласа данной функции:

1. Преобразование Лапласа для \( 2t \):

\[ \mathcal{L}\{2t\} = \frac{2}{s^2} \]

Обратное преобразование Лапласа:

\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^2}\right\} = 2t \]

2. Преобразование Лапласа для константы \(-4\):

\[ \mathcal{L}\{-4\} = -\frac{4}{s} \]

Обратное преобразование Лапласа:

\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{4}{s}\right\} = -4 \]

3. Преобразование Лапласа для \( e^{5t} \):

\[ \mathcal{L}\{e^{5t}\} = \frac{1}{s - 5} \]

Обратное преобразование Лапласа:

\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s - 5}\right\} = e^{5t} \]

Теперь соберем все части вместе:

\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^2} - \frac{4}{s} + \frac{1}{s - 5}\right\} = 2t - 4 + e^{5t} \]

Итак, оригинал данной функции уже дан \( f(t) = 2t - 4 + e^{5t} \). Таким образом ответ:

\[ f(t) = 2t - 4 + e^{5t} \]

Все действия были выполнены правильно и результат совпадает с исходной функцией \( f(t) = 2t - 4 + e^{5t} \), и мы подтвердили её правильность.