Дифференциальные уравнения

Это задача по предмету "Дифференциальные уравнения", который является разделом "Математики".

Мы имеем дело с обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Уравнение выглядит следующим образом: $\text{[}{y}^{\prime }+\frac{x}{y}=0\text{]}$ Чтобы упростить его решение, давайте перепишем это уравнение в другой форме: $\text{[}\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\text{]}$

Теперь перейдем к методике разделения переменных. Перепишем уравнение так, чтобы все выражения с $\text{(}y\text{)}$ были с одной стороны, а выражения с $\text{(}x\text{)}$ с другой стороны: $\text{[}ydy=-xdx\text{]}$

Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения: $\text{[}\int ydy=\int -xdx\text{]}$ Выполним интегрирование: $\text{[}\frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+C\text{]}$ где $\text{(}C\text{)}$ — произвольная константа интегрирования.

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы упростить уравнение: $\text{[}{y}^2=-x^2+2C\text{]}$ Для удобства можем обозначить $\text{(}2C\text{)}$ новой константой $\text{(}K\text{)}$: $\text{[}{y}^2+x^2=K\text{]}$

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: $\text{[}{y}^2+x^2=K\text{]}$ Это уравнение представляет собой семейство окружностей с центром в точке (0,0) и радиусом $\text{(}\sqrt{K}\text{)}$, где $\text{(}K\text{)}$ — произвольная константа, определяемая начальными условиями задачи.