Дифференциального уравнения первого порядка в нормальной форме

Данное уравнение относится к предмету математика, а более точно к разделу дифференциальные уравнения.

На изображении представлена запись дифференциального уравнения первого порядка в нормальной форме, где \( y' \) обозначает производную функции \( y \) по переменной \( x \). Для решения дифференциального уравнения вида \( y' = \frac{1 - 2x}{y^2} \) мы можем использовать метод разделения переменных. Суть метода заключается в том, чтобы "разделить" переменные \( y \) и \( x \) на противоположные стороны уравнения, чтобы можно было интегрировать каждую часть отдельно. Разделяем переменные следующим образом: \[ y^2 dy = (1 - 2x) dx \]

Теперь у нас есть два интеграла, которые мы должны взять по отдельности: \[ \int y^2 dy = \int (1 - 2x) dx \] Вычисляем интегралы: \[ \frac{y^3}{3} = x - x^2 + C \] Здесь \( C \) - это константа интегрирования, которую мы вводим, так как это неопределённый интеграл. Теперь у нас есть общее решение исходного дифференциального уравнения. Оно представляет собой семейство кривых на плоскости \( xy \), параметризованных константой \( C \). Это уравнение можно также представить в неявном виде: \[ \frac{y^3}{3} - x + x^2 = C \] Для нахождения конкретного решения уравнения нам потребовалось бы иметь начальное условие, но такового в данной задаче не предоставлено.