Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Этот вопрос относится к предмету "Высшая математика", а конкретно к разделу "Дифференциальные уравнения". Мы рассматриваем дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: y'' + y = 0

Шаг 1: Характеристическое уравнение

Для начала, мы составим характеристическое уравнение. Для этого заменим y'' на r^2, где r — корень характеристического уравнения, а y на 1. Получается: r^2 + 1 = 0

Шаг 2: Решение характеристического уравнения

Решим характеристическое уравнение: r^2 + 1 = 0 r^2 = -1 r = \pm i Таким образом, у нас два комплексных корня: r = i и r = -i.

Шаг 3: Общий вид решения

Для комплексных корней характеристического уравнения r = \alpha \pm \beta i, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) В нашем случае \alpha = 0 и \beta = 1, поэтому общее решение будет: y(x) = e^{0 \cdot x} (C_1 \cos(1 \cdot x) + C_2 \sin(1 \cdot x)) y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)

Шаг 4: Запись результата

Итак, общее решение дифференциального уравнения y'' + y = 0 имеет вид: y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) Здесь C_1 и C_2 — произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями задачи, если они заданы.

Подытожим

Определив предмет и раздел вопроса как "Высшая математика - Дифференциальные уравнения", мы составили характеристическое уравнение, нашли его корни и записали общее решение.